장현동고1수학과외, 벤다이어그램 영역 수를 역으로 복원하는 법
장현동의 장현4단지나 장현LH23단지에서 귀가한 뒤 학교 프린트의 집합 문제를 짧게 풀 때, 원소 수를 그림에 바로 옮기는 과정에서 한 영역을 빠뜨리기 쉽다. 벤다이어그램은 그림을 꾸미는 문제가 아니라 전체집합, 두 집합의 원소 수, 교집합 사이의 관계를 이용해 빈 영역을 역으로 계산하는 문제다.
전체 수에서 각 영역을 분리하는 계산
전체집합을 U, 두 집합을 A, B라 하자. 다음 조건을 벤다이어그램에 나타낸다.
- n(U)=42
- n(A)=23
- n(B)=19
- n(A∩B)=8
교집합에 들어가는 원소 수가 8이므로 A에서 겹치지 않는 부분은
23-8=15
이고, B에서 겹치지 않는 부분은
19-8=11
이다. 두 집합의 합집합은 왼쪽 부분, 가운데 부분, 오른쪽 부분을 합한 것이므로
n(A∪B)=15+8+11=34
전체집합에서 합집합을 제외한 바깥 영역은
42-34=8
이다. 따라서 네 영역의 수는 각각 A만 속하는 영역 15, 교집합 8, B만 속하는 영역 11, 어느 집합에도 속하지 않는 영역 8이다.
계산을 서두르며 사라진 바깥 영역
실제 답안에서는 교집합 8을 먼저 적은 뒤, n(A)=23과 n(B)=19를 각각 그대로 더해 합집합을 50으로 적었다. 이어서 전체 원소 수 42보다 합집합이 커지는 상황을 확인하지 않고 다음 문항으로 넘어갔다.
학생의 계산: n(A∪B)=23+19=42, 바깥 영역 =0
이 식은 교집합에 속한 8개를 두 번 센 오류다. A와 B가 겹치므로 합집합은 단순한 합이 아니라 교집합을 한 번 빼야 한다.
n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)=23+19-8=34
따라서 바깥 영역은 0이 아니라 42-34=8이다. 답안에 성질의 이름을 길게 쓰지 않더라도, 계산 옆에 ‘교집합 8은 두 번 세었으므로 한 번 뺌’이라고 남기면 어떤 영역을 역으로 찾았는지 확인할 수 있다.
그림보다 먼저 네 칸의 의미를 표시하기
이 유형에서는 숫자를 쓰기 전에 네 영역을 짧게 표시한다. 순서는 A만, A∩B, B만, 바깥으로 정한다. 그다음 다음 네 줄을 채운다.
- A만: n(A)-n(A∩B)
- 겹치는 부분: n(A∩B)
- B만: n(B)-n(A∩B)
- 바깥: n(U)-n(A∪B)
각 계산 뒤에는 네 영역의 합이 전체집합의 원소 수와 같은지 확인한다. 위 문제에서는 15+8+11+8=42가 되어야 한다. 이 합이 42와 다르면 교집합을 두 번 세었거나, 바깥 영역을 생략했거나, 집합의 전체 원소 수를 잘못 옮긴 것이다.
표현이 달라진 문제에서 다시 확인하기
학교 자료와 다른 형식의 문제집에서는 벤다이어그램 대신 다음처럼 제시할 수 있다.
U의 원소는 36개이고, A의 원소는 17개, B의 원소는 14개, 두 집합에 동시에 속하는 원소는 5개이다. A에만 속하는 원소와 어느 집합에도 속하지 않는 원소의 수를 구하여라.
이때 먼저
A만 = 17-5=12
를 계산한다. 합집합은
17+14-5=26
이므로 바깥 영역은
36-26=10
이다. 학생이 이 문제에서도 ‘전체에서 A와 B를 각각 빼기’로 처리하지 않고, 교집합 5를 한 번만 세도록 표시했다면 그림과 문장 표현이 바뀌어도 같은 개념을 연결한 것이다. 특히 오답이 발생한 줄이 n(A∪B)을 계산한 줄인지, 바깥 영역을 계산한 줄인지 직접 지목하게 하여 확인을 마친다.