월곶동고2수학과외

월곶동 고2수학과외, S₁과 S₁−S₀를 구분하는 순간

월곶동풍림아파트 생활권에서 학교와 방과후 이동을 마친 뒤 확보한 자습시간에는 시그마 식을 항별로 다시 읽는 연습이 효과적이다. 특히 수열의 합에서 일반항을 구할 때는 공식보다 첫 항의 정의가 먼저다.

부분합의 식이 바뀌면 일반항도 구간별로 확인한다

다음과 같이 부분합이 주어졌다고 하자.

S_n = 3n² − n + 2

학생은 첫 항도 차분으로 구한다며 a₁ = S₁ − S₀이라고 적었다. 하지만 문제에서 S₀을 정의하지 않았다. 부분합은

S_n = a₁ + a₂ + ··· + a_n

이므로 첫째 항은 바로 a₁ = S₁이다.

S₁을 계산하면

a₁ = S₁ = 3 − 1 + 2 = 4

이고, n ≥ 2에서는 인접한 두 부분합의 차를 사용한다.

a_n = S_n − S_n−1
= (3n² − n + 2) − {3(n−1)² − (n−1) + 2}
= 6n − 4

따라서 일반항은 a₁ = 4, n ≥ 2에서 a_n = 6n − 4로 정리된다. 실제로 n=2이면 a₂=8이고, S₂−S₁=10−4=6이므로 계산을 다시 확인해야 한다.

위 계산에서 괄호를 정확히 전개하면

S_n−1 = 3(n−1)² − (n−1) + 2
= 3n² − 7n + 6

이므로

a_n = (3n²−n+2) − (3n²−7n+6) = 6n−4

이다. n=2에서 a₂=8, S₂=12−2+2=12, S₁=4이므로 S₂−S₁=8로 일치한다.

구한 항을 다시 더해 부분합을 복원한다

수정한 뒤에는 식을 거꾸로 적용한다. 첫 항 4와 n≥2의 항 6n−4를 더하면

4 + (8 + 14 + ··· + (6n−4))

가 된다. 실제로 각 항이 S_k−S_k−1로 만들어졌으므로 중간 항들이 소거되어 최종적으로 S_n만 남는다. 이 역검산을 하면 임의의 S₀을 끼워 넣지 않았는지도 확인할 수 있다.

조건이 더 붙은 변형에서 필요한 정보만 고르기

다음 문제로 풀이 순서를 점검한다.

S_n = −2n² + 5n + 7이고, 어떤 수열의 네 번째 항이 부분합으로 주어졌다고 하자. 색칠한 그래프 정보나 S₄의 값처럼 일반항을 구하는 데 불필요한 자료가 함께 있어도 먼저 필요한 관계만 선택한다.

a₁ = S₁ = −2 + 5 + 7 = 10
a_n = S_n − S_n−1  (n ≥ 2)
= (−2n²+5n+7) − {−2(n−1)²+5(n−1)+7}
= −4n + 7

따라서 a₁=10, n≥2에서 a_n=−4n+7이다. 마지막으로 a₁과 a₂=−1을 더해 S₂=9가 되는지 확인하고, 주어진 부분합 식의 S₂=−8+10+7=9와 비교한다. 첫째 항을 차분으로 처리하지 않고, 변형된 계수와 부호에도 같은 검산 절차를 유지했는지가 이 문제의 판단 기준이다.