월곶동 고3 수학과외: 이동한 포물선과 직선의 교점 조건 점검
월곶동풍림아파트 등 생활권에서 학교와 방과후 자습 장소를 오가는 학생은 이동 뒤 남은 시간에 한 문제를 끝까지 검산하는 습관이 중요하다. 월곶동 주소에 확인된 고등학교는 없으므로, 군서고·은행고·시흥고·시흥능곡고·신천고 등 시흥시 학교의 통학권을 참고해 실제 풀이 흐름을 구성했다.
직전 문제의 숫자를 복사하면 교점 개수부터 달라진다
학생은 다음 문제에서 새로 주어진 포물선과 직선의 조건을 확인하지 않고, 직전 문제의 식을 그대로 옮겼다.
문제: 포물선 y=(x-2)2-3과 직선 y=2x-1의 교점의 좌표를 구하고, 두 그래프가 만나는 점의 개수를 판단하라.
학생의 답안에는 다음과 같은 오답이 적혀 있었다.
(x-1)2-2=2x-3
x2-4x+3=0
(x-1)(x-3)=0
이 식은 현재 문제의 포물선 (x-2)2-3과 직선 2x-1을 사용한 결과가 아니다. 직전 문제의 꼭짓점과 직선의 절편을 복사했기 때문에 첫 줄부터 잘못되었다.
축과 평행이동을 먼저 식에 고정하기
포물선의 축은 x=2이고 꼭짓점은 (2,-3)이다. 교점에서는 두 y값이 같으므로 정확히 연립하면
(x-2)2-3=2x-1
x2-4x+1=2x-1
x2-6x+2=0
따라서 근의 공식에 의해
x=3±√7
이고, 직선의 식에 대입하면
y=2(3±√7)-1=5±2√7
교점은 (3+√7, 5+2√7), (3-√7, 5-2√7)의 두 점이다. 판별식도
Δ=(-6)2-4·1·2=28>0
이므로 서로 다른 두 교점이라는 결론과 일치한다.
틀린 줄에 별표를 남기고 역검산하기
- 첫 오류 표시: (x-1)2-2=2x-3 줄에 별표를 표시한다.
- 조건 확인: 현재 포물선의 축이 x=2, 최솟값이 -3인지 확인한다.
- 식 수정: (x-2)2-3=2x-1로 다시 쓴다.
- 부호 점검: 전개할 때 (x-2)2=x2-4x+4임을 따로 표시하고, 상수항은 4-3=1로 계산한다.
- 검산: x=3+√7을 원래 두 식에 각각 대입해 y=5+2√7이 나오는지 확인한다.
기울기를 바꾼 접선 조건으로 독립 검증
같은 풀이를 반복하지 않기 위해 포물선은 유지하고 직선의 기울기를 바꾼다.
검증 문제: 포물선 y=(x+1)2-4에 접하고 기울기가 4인 직선의 방정식을 구하라.
직선을 y=4x+b라 두면 교점의 x값은
(x+1)2-4=4x+b
x2-2x-3-b=0
접하는 경우에는 교점이 하나이므로 판별식이 0이어야 한다.
Δ=(-2)2-4(-3-b)=16+4b=0
따라서 b=-4이고 직선은 y=4x-4이다. 실제로 대입하면
(x+1)2-4=4x-4 → x2-2x=0
이므로 x=0,2처럼 보이지만 이는 전개 오류를 다시 확인해야 하는 지점이다. 정확히 계산하면 (x+1)2-4=x2+2x-3이므로
x2+2x-3=4x-4 → x2-2x+1=0 → (x-1)2=0
이다. 따라서 접점은 (1,0)이며, 판별식 0 조건과 원식 대입 결과가 모두 일치한다.