월곶동고1수학과외, 조건의 해를 구간과 나열로 바꾸는 연습
월곶동에서 학교 수업과 귀가 이동을 마친 뒤 확보한 짧은 자습시간에는 계산량보다 답을 어떤 집합으로 표현했는지 확인하는 연습이 효과적이다. 고1 수학에서 부등식의 해를 구해도 조건을 만족하는 수들의 집합을 구간이나 나열로 옮기지 못하면 서술형 답안이 완성되지 않는다.
계산은 끝났지만 집합 표현이 빠진 답안
학교 프린트에 다음 조건이 제시되었다고 하자.
정수 x가 부등식 x2 - 5x + 6 ≤ 0을 만족할 때, 조건을 만족하는 수들의 집합을 구하여라.
식을 인수분해하면
x2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
이고, 해는 2 ≤ x ≤ 3이다. 그런데 학생은 답안에 ‘x = 2 또는 3’이라고 적은 뒤 다음 문제로 넘어갔다. 정수 조건을 고려하면 나열한 답 {2, 3}도 맞지만, 풀이 과정에 정수라는 조건과 집합 표현을 확인한 흔적이 없어 조건이 바뀌었을 때 같은 판단을 이어 가기 어렵다.
부등식의 실수해와 정수해를 구별하기
만약 문제에서 x가 실수라고 했다면 해집합은 [2, 3]이다. 대괄호는 양 끝값 2와 3을 포함한다는 뜻이다. 반대로 x가 정수라면 이 구간에 들어 있는 정수만 골라 {2, 3}으로 나타낸다.
따라서 풀이를 시작하기 전에 답안 첫 줄에 조건: 정수 x, 해집합 표현: 나열이라고 적는다. 계산을 마친 뒤에는 구한 범위 2 ≤ x ≤ 3에서 정수만 추려 {2, 3}이라고 다시 확인한다. 같은 문장을 반복하는 것이 아니라, 처음에는 문제의 조건을 선택하고 마지막에는 계산 결과를 그 조건에 맞게 변환하는 과정이다.
월곶동 통학 뒤 기록할 두 번의 확인
월곶동풍림아파트 등 생활권에서 이동한 뒤 군서고등학교, 은행고등학교, 시흥고등학교처럼 시흥시 안의 학교를 통학권 참고로 삼아 공부하는 경우에도 학교별 출제 경향을 추측하기보다 자신의 답안 변환 과정을 남기는 편이 정확하다. 오답을 고친 뒤에는 원인을 ‘집합 표현 누락’이라고 기록하고, 풀이 전에는 문제의 수 범위와 표현 방식을 한 줄로 적는다.
- 풀이 전: 실수인지 정수인지, 구간인지 나열인지 표시한다.
- 풀이 후: 계산한 해를 문제의 수 범위에 맞춰 집합 기호로 완성한다.
- 오답 기록: 어느 계산 줄이 아니라 어느 조건 변환에서 판단이 빠졌는지 적는다.
조건이 하나 더 붙은 서술형으로 확인하기
다음에는 조건을 바꾼 문제를 제시한다.
정수 x에 대하여 x2 - 7x + 10 < 0이고 x는 3보다 큰 수가 아닐 때, 해집합을 구하여라.
먼저 중간식을 유지하며
x2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5)
를 적는다. 부등식의 실수해는 2 < x < 5이고, 추가 조건 x ≤ 3을 함께 적용하면 2 < x ≤ 3이다. 정수 조건까지 반영한 해집합은 {3}이다.
이 문제에서 학생이 [2, 3]이라고 답했다면 정수 조건을 나열로 바꾸지 않은 줄을 스스로 찾아야 한다. 반대로 {2, 3, 4}라고 답했다면 추가 조건 x ≤ 3을 적용하기 전의 범위를 그대로 사용한 것이다. 중간식과 조건을 남겨 두면 계산 오류가 시작된 줄을 추적할 수 있다.
새 문제에서 확인할 판단
마지막으로 계수와 부호를 바꾼 x2 - 3x - 4 ≥ 0, 정수 x, x < 3이라는 조건을 준다. 인수분해하면 (x - 4)(x + 1) ≥ 0이므로 실수해는 x ≤ -1 또는 x ≥ 4이다. 여기에 x < 3을 적용해도 해집합은 {정수 x | x ≤ -1}로 남는다.
학생이 풀이 전 수의 범위와 표현 방식을 적고, 마지막에 구간 조건을 정수의 나열 또는 조건제시법으로 바꾸며, 틀렸을 때 오류가 시작된 줄을 직접 표시한다면 조건에 따른 집합 표현을 새로운 문제에서도 적용한 것으로 본다.