부분합 식에서 먼저 확인할 것은 항번호의 범위다
배곧동고2수학과외 학습에서는 방과 후 이동 뒤 확보한 짧은 자습 시간에도 수열의 기호를 정확히 읽는 연습이 필요하다. 배곧동 주소에 고등학교가 확인된 것은 아니므로, 배곧고등학교를 비롯한 시흥시 내 학교의 통학권에서 접할 수 있는 수열·시그마 서술형을 기준으로 풀이를 점검한다.
다음과 같이 부분합이 주어졌다고 하자.
Sn = 2n2 + n (n은 자연수)
부분합의 정의는 첫째항부터 n번째 항까지의 합이다.
Sn = a1 + a2 + ⋯ + an
따라서 n≥2에서는 앞뒤 부분합의 차로 일반항을 구할 수 있다.
an = Sn − Sn−1
= (2n2+n) − {2(n−1)2+(n−1)}
= 4n−1
a1에 S1−S0을 쓰면 안 되는 이유
풀이 답안에는 an=4n−1만 적혀 있고 적용 범위가 빠져 있었다. 이어진 변형 문제에서 학생은 첫째항도 같은 방식으로 처리하며 다음과 같이 적었다.
a1 = S1 − S0
이 식은 문제에서 S0을 정의하지 않았으므로 사용할 수 없다. Sn은 첫째항부터 n번째 항까지의 합이므로 S1은 a1 자체이다. 따라서 첫째항은 별도로 계산해야 한다.
a1 = S1 = 2(1)2+1 = 3
그 뒤에야 차분식을 적용한다.
a1=3,
an=4n−1 (n≥2)
기호의 뜻을 말한 뒤 식을 한 줄만 고치기
답안에 S0이 등장하면 먼저 “Sn은 첫째항부터 n번째 항까지의 합이고, S1은 a1이다”라고 설명한다. 이 설명과 맞지 않는 줄만 다음처럼 바꾼다.
잘못된 줄: a1=S1−S0
수정한 줄: a1=S1=3
이후 n≥2인 항에 대해서만 Sn−Sn−1을 사용한다. a2를 직접 확인하면 S2−S1=10−3=7이고, 4n−1에 n=2를 넣어도 7이므로 범위와 식이 함께 맞는다.
그래프의 세로 차이로 범위를 다시 확인하기
이번에는 식 대신 점들을 생각한다. 부분합을 점으로 나타내면
(1,S1)=(1,3), (2,S2)=(2,10), (3,S3)=(3,21)
n=2부터는 이웃한 점의 세로 차이가 항이 된다.
S2−S1=7=a2
S3−S2=11=a3
반면 첫 번째 점에는 그보다 앞선 S0이 주어져 있지 않다. 그러므로 그래프에서도 첫 항은 점의 높이 S1으로 읽고, 두 번째 점부터 점 사이의 차이를 읽어야 한다.
새 조건으로 Sn=n2+3n이 제시되었을 때도 먼저 S1=4를 구하고, n≥2에서만 Sn−Sn−1을 적용하는지 확인한다. 그래프의 첫 점은 S1의 값으로, 이후 항은 이웃한 부분합 점의 차이로 설명하면 된다.