배곧동고1수학과외, 세 집합 포함배제식을 단계별로 세우기
배곧동에서 학교와 방과후 이동을 마친 뒤 확보한 짧은 자습시간에는 세 집합 원소 수 문제의 계산보다 식의 순서를 먼저 점검하는 연습이 필요하다. 같은 시흥시의 배곧고등학교, 은행고등학교, 시흥고등학교 등 통학권 참고 학교의 프린트에서 표현이 달라져도, 각 집합의 합집합을 구하는 구조는 변하지 않는다.
교집합을 한 번 더 빼야 하는 이유
세 집합 A, B, C에 대해 전체 합집합의 원소 수는 다음과 같다.
n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C)
처음 세 집합의 원소 수를 더하면 세 집합에 모두 속한 원소는 세 번 세어진다. 세 쌍의 교집합을 각각 빼면 그 원소가 세 번 빠지므로, 마지막에 세 집합의 교집합을 한 번 더 더해야 실제로 한 번만 남는다.
여백에 흔적이 없으면 계산 순서도 흔들린다
예를 들어 어떤 설문에서 n(A)=24, n(B)=19, n(C)=16, n(A∩B)=7, n(B∩C)=5, n(C∩A)=6, n(A∩B∩C)=3이라고 하자. 정확한 계산은
24+19+16-7-5-6+3=44
이다. 그런데 학생이 문제지에 집합의 이름이나 교집합을 표시하지 않고 바로 24+19+16-7-5-6=41이라고 적었다면, 세 집합에 모두 속한 3명을 다시 더하는 마지막 줄이 빠진 것이다. 이는 계산 능력의 문제가 아니라 포함배제 과정을 단계적으로 확인하지 않은 답안이다.
세 집합을 더한다 → 세 쌍의 교집합을 뺀다 → 세 집합의 교집합을 더한다
조건이 바뀐 줄을 표시하는 훈련
체크 항목을 답안 왼쪽에 두고 ① 단일 집합 ② 세 쌍의 교집합 ③ 세 집합의 교집합을 직접 적게 한다. 위 문제라면
- ① 24+19+16
- ② −7−5−6
- ③ +3
처럼 각 수가 어느 항에 해당하는지 표시한 뒤 계산한다. 새 조건이 붙어 n(A∩B∩C)=0이라면 마지막 항을 생략하는 것이 아니라 +0으로 확인한다. 반대로 세 집합 모두에 속한 원소가 3명이라면 반드시 +3을 남겨야 한다.
새 문제에서 계산보다 먼저 할 일
다음 문제를 작도 순서가 섞인 형태로 제시한다.
n(P∩R)=4, n(Q)=21, n(P)=27, n(P∩Q∩R)=2, n(R)=18, n(Q∩R)=6, n(P∩Q)=8일 때 n(P∪Q∪R)을 구하여라.
학생이 곧바로 답을 요구하더라도 풀이를 대신 알려주지 않고 문항 체류시간을 지킨다. 먼저 세 집합의 합을 쓰고, 세 쌍의 교집합을 빼고, 마지막으로 세 집합 교집합을 더하는 순서를 스스로 배열해야 한다.
27+21+18-8-6-4+2=50이므로 합집합의 원소 수는 50이다. 풀이를 끝낸 뒤에는 체크 항목 세 줄이 실제로 표시되었는지 확인한다. 같은 유형을 맞혔다는 사실보다, 순서가 섞여도 필요한 항을 찾아 배치했는지가 현재 상태를 판단하는 기준이다.
보류와 복습 종료 시점도 풀이의 일부
방과후 이동 뒤 자습시간이 짧을 때는 새 문제의 수치를 보고도 식의 구조가 바로 떠오르지 않을 수 있다. 이때 답을 받아 적지 않고 문항을 보류한 뒤 뒤의 해결 가능한 문제로 이동했는지 기록한다. 복습 종료 시점에는 세 집합의 합, 세 쌍의 교집합, 세 집합의 교집합을 표시하는 절차를 혼자 재현했는지 확인하고 스스로 오늘의 복습을 마칠 시점을 결정한다.