배곧동 고3수학과외에서 다룬 이차곡선 교점 판별
배곧동에서 방과 후 이동과 통학 시간을 고려해 확보한 자습 시간에, 한 학생이 포물선과 직선의 교점을 구하는 문제를 풀었다. 배곧고등학교·은행고등학교 등 시흥시 통학권 학교의 고3 수학 학습에서는 계산보다 초점, 준선, 축과 같은 조건을 먼저 정리하는 습관이 중요하다.
초점과 준선을 확인한 뒤 식 세우기
포물선의 방정식이 y²=8x라면 표준형 y²=4px에서 p=2이다. 따라서 초점은 (2, 0), 준선은 x=-2, 축은 x축이다.
직선 y=x-2와의 교점을 구하되, 포물선의 위쪽 부분인 y≥0에서만 점을 허용한다고 하자. 포물선의 매개변수 표현은
(x, y)=(2t², 4t)
이다. 직선 조건을 대입하면
4t=2t²-2
이므로
t²-2t-1=0
을 얻는다. 판별식은
Δ=(-2)²-4·1·(-1)=8>0
이므로 직선과 포물선은 두 점에서 만난다. 매개변수는 t=1±√2이고, 위쪽 부분 조건 t≥0을 적용하면 t=1+√2만 남는다.
따라서 허용되는 교점은
(2(1+√2)², 4(1+√2))=(6+4√2, 4+4√2)
이다.
판별식을 생략한 오답과 수정 과정
학생의 오답: 4t=2t²-2에서 t²-2t+1=0, 따라서 t=1 한 개의 교점
이 식은 오답이다. 우변의 상수항을 이항할 때 -2가 그대로 남아야 하는데, 학생이 이를 +1 형태로 바꾸었다. 또한 이차방정식의 판별식을 확인하지 않아 교점이 두 개인지 한 개인지도 판단하지 않았다.
- 틀린 줄 표시: t²-2t+1=0
- 조건 확인: 포물선은 y²=8x이고 직선은 y=x-2이므로 4t=2t²-2가 되어야 한다.
- 식 수정: t²-2t-1=0
- 판별식 확인: Δ=8>0이므로 교점 후보는 두 개이다.
- 조건 적용: y=4t≥0이므로 t≥0인 t=1+√2만 선택한다.
- 대입 검산: x=6+4√2, y=4+4√2를 직선과 포물선에 각각 대입해 두 식이 모두 성립함을 확인한다.
계수를 바꾼 독립 검증
이번에는 포물선 y²=12x와 직선 y=2x-3의 교점을 구하고, y≥0인 점만 남겨 보았다.
포물선의 매개변수 표현은 (x,y)=(3t²,6t)이다. 직선에 대입하면
6t=6t²-3
즉,
2t²-2t-1=0
이고 판별식은 Δ=(-2)²-4·2·(-1)=12>0이다. 따라서
t=(1±√3)/2
중 y≥0을 만족하는 t=(1+√3)/2만 선택한다. 이때
y=3(1+√3), x=3t²=3(2+√3)/2
이며, 실제로 y=2x-3과 y²=12x에 대입해 모두 성립한다. 학생은 조건을 먼저 표시하고 판별식과 범위 검사를 연결하면서, 계산 중 생긴 후보를 무조건 답으로 쓰지 않는 방식으로 교정했다.