수지구고2수학과외, 구간별 함수의 연결점에서 조건을 먼저 세우는 연습
수지구의 동천동·상현동·성복동·신봉동·죽전동·풍덕천동처럼 통학과 과제가 함께 늘어나는 고2 시기에는 풀이를 빨리 끝내는 것보다, 식이 바뀌는 지점에서 무엇을 확인했는지 남기는 일이 중요하다. 특히 구간별 함수의 연속 문제는 한쪽 식만 계산하면 답처럼 보이지만, 연결점의 함수값과 양쪽 극한을 모두 대조해야 한다.
왼쪽 식의 값만으로 f(1)을 정한 풀이
다음 함수에서 f(x)가 연속이 되도록 a,b를 구해 보자.
\[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1}, & x<1\\ ax+b, & x\ge 1 \end{cases} \qquad f(2)=5 \]
학생의 오답표에는 경계값 1을 왼쪽 식에만 대입한 흔적이 남아 있었다. 즉,
\[ \lim_{x\to1^-}\frac{x^2-1}{x-1} =\lim_{x\to1^-}(x+1)=2 \]
를 계산한 뒤 “f(1)=2”라고 적은 것이다. 그러나 왼쪽 식은 x<1에서만 사용되므로 x=1의 함수값을 직접 정하지 않는다. 경계에서는 오른쪽 식이 적용되어
\[ f(1)=a+b \]
가 된다. 따라서 왼쪽 극한이 2라는 사실만으로 연속이 결정되지 않는다.
연결점에서는 세 조건을 한 줄씩 확인한다
x=1에서 연속인지 판단할 때 여백에 다음 세 줄을 먼저 적는다.
- f(1)이 존재하는가: 오른쪽 식에 의해 f(1)=a+b
- 양쪽 극한이 존재하고 같은가: 왼쪽 극한은 2, 오른쪽 극한은 a+b
- 극한값과 함수값이 같은가: 2=a+b=f(1)
따라서 연속 조건은
\[ a+b=2 \]
이다. 또 f(2)=5는 두 번째 식을 사용하므로
\[ 2a+b=5 \]
이다. 두 식을 빼면 a=3, 이어서 b=-1을 얻는다. 실제로 오른쪽 식은 3x-1이므로 f(1)=2이고, 왼쪽 극한도 2이다. 세 값이 일치하므로 연결점에서 연속이다.
경계값을 대입하는 위치를 바꾼 미니문제
같은 연결점에서 다음처럼 숫자 하나만 바꾼 문제를 풀이한다.
\[ g(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-4}{x-2}, & x<2\\ cx+d, & x\ge2 \end{cases} \qquad g(3)=8 \]
먼저 세 조건을 적으면
\[ g(2)=2c+d,\qquad \lim_{x\to2^-}g(x)=\lim_{x\to2^-}(x+2)=4, \qquad \lim_{x\to2^+}g(x)=2c+d \]
이다. 연속 조건은 2c+d=4이고, g(3)=8에서 3c+d=8이다. 따라서 c=4,\ d=-4이다. 이때 g(2)=4이므로 왼쪽 극한과 함수값이 일치한다.
이 확인에서 볼 것은 정답 숫자가 아니라, 경계에서 왼쪽 식을 함수값으로 사용하지 않고 왼쪽 극한·오른쪽 극한·함수값을 각각 적었는지 여부다. x=2에서만 두 식을 비교하면 되고, 각 구간 내부의 식은 해당 구간에서 이미 연속인 식인지 따로 구분해야 한다.