수지구 고3 수학과외: 내분과 외분을 가르는 부호 점검
“외분점도 내분점처럼 더하면 되나요?” 학생의 풀이에는 같은 부호를 사용한 흔적이 선명했다.
공식보다 먼저 확인한 좌표 관계
점 A(2, -1), B(8, 5)에 대하여 AP:PB=2:1인 내분점과 외분점을 각각 구해 보았다.
내분점은 선분 AB 안에 있으므로 두 가중치를 더한다.
내분점 P의 좌표는
P = (2B + 1A) ÷ (2+1) = ((16+2)/3, (10-1)/3) = (6, 3)
실제로 P-A=(4, 4), P-B=(-2, -2)이므로 두 거리의 비는 2:1이다.
그런데 학생은 외분점에도 같은 부호를 적용해 다음과 같이 계산했다.
학생의 오답: Q = (2B + 1A) ÷ (2+1) = (6, 3)
이 식은 외분점이 아니라 선분 내부의 내분점을 구하는 식이다. 외분점은 Q가 A와 B의 바깥쪽에 있어야 하므로 두 가중치의 부호가 달라지고, 분모도 차가 된다.
틀린 줄에 표시하고 식을 다시 세운 과정
- 틀린 줄 표시: 외분점 계산에서 ‘+’와 ‘2+1’을 사용한 부분에 표시했다.
- 조건 확인: AP:PB=2:1이고 Q는 B의 바깥쪽에 있으므로 Q-B와 B-A의 방향이 같다.
- 식 수정: Q = (2B - 1A) ÷ (2-1)
- 계산: Q = ((16-2)/1, (10-(-1))/1) = (14, 11)
Q-A=(12, 12), Q-B=(6, 6)이므로 AQ:QB=12√2:6√2=2:1이다. 또한 Q가 B보다 더 오른쪽과 위쪽에 있어 외분점의 위치 조건도 만족한다.
계수를 바꾼 독립 검증
이번에는 A(-3, 4), B(5, -2)에서 AP:PB=3:2인 외분점 R을 구했다.
외분 공식에 따라
R = (3B - 2A) ÷ (3-2) = ((15+6)/1, (-6-8)/1) = (21, -14)
R-A=(24, -18)=3(B-A), R-B=(16, -12)=2(B-A)이므로 AR:RB=3:2이다. 부호를 바꾸지 않고 더하면 선분 안의 점이 되어 외분 조건을 만족하지 못한다.
수지구의 동천동·상현동·성복동·신봉동·죽전동·풍덕천동에서 학교와 과제 이동이 늘어나는 고3 시기에는 풀이 시간을 줄이는 것보다, 문제를 읽자마자 공식에 대입하기 전 좌표의 위치와 비율 조건을 확인하는 습관이 중요하다. 수지고등학교, 용인홍천고등학교, 서원고등학교, 죽전고등학교, 성복고등학교, 풍덕고등학교 등 학교별 생활 동선은 다를 수 있지만, 내분과 외분에서는 공통적으로 부호와 분모의 관계를 먼저 점검해야 한다.