수지구고1수학과외, 합성함수의 순서와 정의역 확인
동천역이나 금호5단지에서 귀가한 뒤 학교 프린트와 과제를 연달아 처리하다 보면 합성함수의 기호를 왼쪽부터 계산하려는 장면이 나타난다. 수지고등학교, 용인홍천고등학교, 서원고등학교 등 수지구의 고등학교 학습에서도 이 단원은 계산 순서와 정의역 조건을 함께 읽어야 한다.
f∘g에서 먼저 움직이는 함수
합성함수 (f∘g)(x)는 f(g(x))를 뜻한다. 따라서 x에 먼저 g를 적용하고, 그 결과인 g(x)를 다시 f에 넣는다. 기호에서 f가 왼쪽에 있다고 해서 f부터 계산하면 안 된다.
예를 들어 g(x)=2x-1, f(t)=√(t+3)이라면
(f∘g)(x)=f(g(x))=√((2x-1)+3)=√(2x+2)
이다. 여기서 f의 입력을 t로 표시한 까닭은 g(x)가 f에 들어가는 하나의 값이라는 점을 분명히 하기 위해서다.
계산 전에 확인할 안쪽 값의 범위
f(t)=√(t+3)의 정의역은 t≥-3이다. 합성함수에서는 안쪽 함수의 값 g(x)가 이 범위에 들어가야 하므로
g(x)≥-3
을 확인해야 한다. 실제로 g(x)=2x-1이므로
2x-1≥-3 → x≥-1
이다. 따라서 (f∘g)(x)=√(2x+2)의 정의역은 x≥-1이다. 식을 간단히 만든 뒤 근호 안만 보는 것과 같은 결과가 나오더라도, 안쪽 함수값이 바깥 함수의 입력 조건을 만족하는지 근거를 남겨야 한다.
왼쪽부터 계산한 풀이에서 생긴 오류
학생이 (f∘g)(x)=g(f(x))라고 적고, f를 먼저 적용한 뒤 g를 계산했다.
이 식은 (g∘f)(x)에 해당한다. 합성 기호의 오른쪽 함수가 먼저 적용된다는 규칙을 놓친 것이다. 또한 학생의 풀이에는 g(x)=2x-1의 값이 f의 정의역에 들어가는지 확인한 줄도 없었다. 계산 순서와 정의역 판단이 함께 빠진 상태이므로 답만 고치는 것으로는 부족하다.
번호를 붙여 대입하는 풀이
다음과 같이 입력값의 이동을 표시한다.
- 1단계: x → g(x)=2x-1
- 2단계: 2x-1 → f(2x-1)=√(2x+2)
- 3단계: f의 입력 조건 2x-1≥-3을 확인하여 x≥-1을 기록한다.
이 과정을 답안에 남기면 단순히 식을 외워 쓴 것이 아니라, 안쪽 함수의 출력이 바깥 함수의 허용 입력에 들어가는지 판단했다는 사실이 드러난다.
순서를 바꾸면 정의역도 달라진다
같은 두 함수로 (g∘f)(x)를 만들면
(g∘f)(x)=g(f(x))=2√(x+3)-1
이때는 먼저 f(x)=√(x+3)을 계산하므로 x≥-3만 필요하다. 반면 f∘g에서는 g(x)가 f의 입력 조건을 만족해야 하므로 x≥-1이었다. 합성 순서가 바뀌면 식뿐 아니라 정의역도 달라질 수 있다.
새 조건을 읽고 스스로 판단하는 확인
훈련 뒤에는 다음과 같은 새로운 문장제와 표를 제시해 복습 종료 시점을 스스로 결정하게 한다. 예를 들어 어떤 양의 변화가 표에서 x가 1, 2, 3일 때 y가 4, 8, 12로 나타나고, 조건으로 “x가 2배가 되면 y도 2배가 된다”고 추가한다면, 학생은 변화 관계를 읽어 y=4x인 정비례라고 판단해야 한다. 반대로 xy=12가 일정하게 제시되면 y=12/x인 반비례다.
이 확인에서는 교사가 합성 순서나 관계의 이름을 먼저 말하지 않는다. 학생이 표의 변화와 추가 조건을 직접 읽고 식과 그래프가 정비례인지 반비례인지 결정하는지 본다. 합성함수 문제에서도 같은 방식으로 오른쪽 함수부터 번호를 매기고, 안쪽 함수값의 범위를 확인하는 절차가 스스로 나오는지가 판단 기준이다.