풍덕천동 고2수학과외, 약분 뒤에도 사라지지 않는 연속 조건
신정7단지나 현대성우아파트에서 수지고등학교·풍덕고등학교까지의 이동 시간에 따라 풀이를 정리할 수 있는 시간이 달라질 수 있지만, 연속 단원에서는 짧은 문제라도 기호 하나를 먼저 확인해야 한다. 특히 약분으로 식이 간단해졌다는 이유만으로 원래 함수의 정의역까지 바뀌었다고 보면 안 된다.
x=1에서 생긴 구멍을 약분만으로 메울 수 없는 이유
다음 함수가 주어졌다고 하자.
f(x) = (x²-1)/(x-1), x≠1
분자를 인수분해하면
x²-1 = (x-1)(x+1)
이므로 x≠1인 범위에서만
f(x) = x+1
로 약분할 수 있다. 따라서
limx→1 f(x) = limx→1(x+1) = 2
이다. 그러나 원래 함수에서는 x=1일 때 분모가 0이므로 f(1)은 정의되지 않는다. 연속이 되려면 다음 세 조건이 모두 필요하다.
- f(1)이 정의되어 있어야 한다.
- limx→1f(x)가 존재해야 한다.
- limx→1f(x)=f(1)이어야 한다.
학생의 첫 줄은 다음과 같았다.
| 잘못된 줄 | 수정한 줄 |
|---|---|
| f(x) = x+1, x∈ℝ | f(x) = x+1, x≠1 |
달라진 기호는 ∈ → ≠이다. 약분은 식의 모양을 바꾸지만, 원래 식에서 분모가 0이 되는 x=1을 정의역에 새로 넣어 주지는 않는다. 따라서 이 함수는 x=1에서 극한은 2이지만 함수값이 존재하지 않아 연속이 아니다.
연속 조건을 답안의 첫 줄에 고정하기
이 유형을 풀 때는 약분부터 쓰지 않고, 먼저 문제의 원래 정의역을 표시한다.
x=1에서는 원래 함수가 정의되지 않음
그다음 약분 조건을 붙여 극한을 계산한다.
x≠1에서 (x²-1)/(x-1)=x+1
마지막으로 함수값과 극한값을 따로 비교한다. 이 순서를 답안에 남기면 약분된 식의 값 2를 곧바로 f(1)로 읽는 오류를 막을 수 있다.
불필요한 정보가 섞인 문제에서 필요한 조건만 고르기
함수를 다음과 같이 정의하자.
g(x)=
{(x²-4)/(x-2), x≠2}
{k, x=2}
또한 그래프가 제1사분면과 제3사분면을 지나고, x=0에서의 값이 2라는 정보가 함께 주어졌다고 하자. x=2에서 연속이 되도록 하는 k를 구할 때는 사분면이나 g(0)의 정보가 필요하지 않다.
x≠2에서
(x²-4)/(x-2) = ((x-2)(x+2))/(x-2) = x+2
이므로
limx→2g(x)=4
이다. x=2에서 연속이 되려면 g(2)=k와 극한값이 같아야 하므로
k=4
가 된다. 여기서 핵심적으로 사용한 조건은 약분된 식, x=2에서의 극한, 그리고 g(2)=k의 일치 여부다.
풍덕천동에서 학교와 주거지 사이 이동 시간이 긴 날에도 이 세 항목만 식 옆에 표시하면, 불필요한 그래프 정보에 끌려가지 않고 약분 전후의 정의역과 연속 여부를 분리해 판단할 수 있다.