풍덕천동고1수학과외, 역함수의 정의역과 치역을 뒤바꾸어 확인하기
수지고등학교나 풍덕고등학교의 프린트를 풀 때 역함수 식만 구한 뒤 곧바로 값을 대입하는 학생이 있다. 풍덕천동의 신정7단지와 현대성우아파트처럼 학교까지의 이동 시간이 다른 생활권에서는 짧은 풀이 시간에 계산부터 시작하기 쉽지만, 역함수에서는 대입 전 정의역 확인이 먼저다.
식은 구했지만 대입할 수 없는 값을 넣은 장면
함수 f(x)=√(x-2)가 주어졌다고 하자. 근호 안이 음수가 되지 않아야 하므로 원함수의 정의역은 x≥2이고, 함수값은 항상 0 이상이므로 치역은 y≥0이다.
따라서 역함수는
y=√(x-2) → x=y²+2 → f-1(x)=x²+2
이며, 역함수의 정의역은 원함수의 치역인 x≥0, 역함수의 치역은 원함수의 정의역인 y≥2가 된다.
그런데 학생은 역함수에 -3을 대입해 f-1(-3)=(-3)²+2=11이라고 적었다. 식의 계산 자체는 맞지만, -3은 역함수의 정의역 [0,∞)에 속하지 않는다. 그러므로 이 값의 역함수값은 정의되지 않는다.
원함수와 역함수의 입력 범위를 나란히 표시하기
풀이 여백에 다음처럼 범위를 먼저 남긴다.
- 원함수: 정의역 [2,∞), 치역 [0,∞)
- 역함수: 정의역 [0,∞), 치역 [2,∞)
이제 f-1(5)를 계산하면 5가 역함수의 정의역에 포함되므로 대입할 수 있다.
f-1(5)=5²+2=27
반대로 원함수에서 f(1)을 구하려 하면 1은 원함수의 정의역에 없으므로 계산을 진행하지 않는다. 학생이 식 옆에 ‘입력값 ∈ 정의역?’이라고 적고, 5∈[0,∞)처럼 확인한 뒤 대입했다면 빠져 있던 판단이 풀이 속에 드러난 것이다.
역함수 관계를 값의 대응으로 검산하기
f(27)=√(27-2)=√25=5이므로 원함수에서 입력값 27은 출력값 5를 만든다. 따라서 역함수에서는 그 방향이 바뀌어 f-1(5)=27이 되어야 한다. 이 대응을 확인하면 역함수의 정의역에 원함수의 치역을 써야 하는 이유도 함께 확인된다.
역함수 식만 맞게 만들고 범위를 적지 않는 상태는 공식의 형태는 기억하지만 입력과 출력의 역할 전환까지 연결하지 못한 상태에 가깝다. 계산 전에 두 범위를 적는 행동으로 이 연결을 고정한다.
표의 단위가 달라져도 필요한 수량만 골라 확인하기
새 문제에서는 함수 g(t)=√(t-7)가 시간 단위가 분이 아니라 10분 단위로 정리된 표에 제시되었다고 하자. 표에 7, 16, 32, 50 같은 수가 모두 있어도, 역함수의 정의역과 치역을 판단할 때 필요한 것은 식의 제곱근 조건이다.
g의 정의역은 t≥7, 치역은 y≥0이므로
g-1(x)=x²+7
의 정의역은 x≥0이다. 표의 모든 숫자를 무작정 대입하지 않고, 구하려는 역함수 입력값이 0 이상인지 먼저 고른다. 예를 들어 출력값 4에 해당하는 입력을 구하면 g-1(4)=16+7=23이다. 4는 역함수의 정의역에 포함되지만, 표에 함께 적힌 -2를 역함수에 넣는 것은 허용되지 않는다.
이처럼 조건 표시가 풀이 시작 부분에 남고, 단위가 바뀐 표에서도 필요한 수량만 골라 정의역과 치역을 확인한다면 원함수와 역함수의 범위가 바뀐다는 판단을 새로운 문제에 적용한 것으로 볼 수 있다.