죽전동고2수학과외, 연속 조건 두 개를 식으로 세우는 연습
죽전고등학교, 대지고등학교, 현암고등학교의 학교별 시험 범위와 수행평가 일정이 겹치면 평일 귀가 후 풀이 시간이 짧아질 수 있다. 이때 함수의 연속 문제를 공식처럼 외워 풀면, 식의 표현이나 부호가 바뀌는 순간 이전 풀이를 그대로 옮기기 쉽다. 성현마을2단지 생활권에서 진행한 풀이에서도 같은 장면이 나타났다.
연속점이 두 곳이면 조건도 두 개다
다음 함수에서 매개변수 a, b를 구해 보자.
f(x) = { x² + a (x < 1)
{ bx + 1 (1 ≤ x < 2)
{ x² + 1 (x ≥ 2)
학생은 이전 문제의 식을 참고해 1+a=b+1만 적고, a=b를 얻은 뒤 계산을 멈췄다. 하지만 연속이어야 하는 점은 x=1 하나가 아니다. x=2에서도 좌우의 값이 이어져야 하므로 조건을 하나 더 세워야 한다.
x=1에서는
lim(x→1-) f(x) = 1+a, lim(x→1+) f(x) = b+1, 그리고 f(1)=b+1이다. 따라서 1+a=b+1이다.
x=2에서는
lim(x→2-) f(x)=2b+1, lim(x→2+) f(x)=2²+1=5이다. 그러므로 2b+1=5가 추가된다.
두 식을 함께 풀면 b=2, a=2이다. a=b만으로는 두 매개변수를 하나로 정했을 뿐, 연속 조건 전체를 반영한 답이 아니다.
오답 원인을 ‘조건 누락’ 하나로 고정하기
이 장면에서 부호나 공식까지 한꺼번에 다시 보게 하면 풀이가 더 흐려진다. 답안 옆에 오류 유형을 조건 누락으로 표시하고, 각 경계점마다 다음 세 칸을 직접 채우게 한다.
| 경계점 | 좌극한 | 우극한·함숫값 |
|---|---|---|
| x=1 | 1+a | b+1 |
| x=2 | 2b+1 | 5 |
그 다음 각 행을 등식으로 바꾼다.
x=1: 1+a=b+1x=2: 2b+1=5
이처럼 계산 전에 경계점의 개수를 세면, 이전 문제의 식을 복사하지 않고 현재 함수의 구간 표현에 맞춰 조건을 다시 만들 수 있다.
부호와 계수가 바뀐 함수에서 순서를 다시 세우기
확인은 다음 변형문제로 진행한다.
g(x) = { -x² + p (x < -1)
{ qx - 1 (-1 ≤ x < 1)
{ x² + 1 (x ≥ 1)
x=-1과 x=1에서 연속일 때 p,q를 구한다.
x=-1에서 좌극한은 -1+p, 우극한과 함숫값은 -q-1이므로
-1+p=-q-1, 즉 p=-q이다.
x=1에서 좌극한은 q-1, 우극한과 함숫값은 2이므로
q-1=2, 따라서 q=3, p=-3이다.
새 문제에서 먼저 경계점 두 개를 찾고, 각 점의 좌극한·우극한·함숫값을 따로 적었다면 풀이 순서를 스스로 재구성한 것이다. 숫자와 부호가 달라져도 조건 두 개를 빠뜨리지 않는지가 이 단원의 확인 기준이다.