죽전동 고3수학과외: 중심과 단면 조건으로 구의 방정식 다시 세우기
죽전동의 죽전고등학교, 대지고등학교, 현암고등학교 학생은 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려해 개념 복습과 오답 재검증 시간을 나누어야 한다. 같은 수지구의 수지고등학교와 용인홍천고등학교는 참고 학교로 구분하되, 죽전동 소재 학교로 단정하지 않는다.
구의 중심이 바뀌면 좌표 범위도 다시 계산해야 한다
학생은 다음 구의 방정식을 정리한 뒤 평면과 만나는 단면에서 가능한 x의 범위를 구했다.
(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2=9
평면 z=3을 대입하면
(x-1)2+(y+2)2=9
따라서 중심이 (1,-2)이고 반지름이 3인 원이므로 -2≤x≤4가 된다. 이때 x=4는 y=-2일 때 실제로 성립한다.
그런데 조건을 바꾼 새 문제에서 구가
(x-2)2+(y+1)2+(z-3)2=16
이고 같은 평면 z=3과 만난다면 학생은 다음과 같이 적었다.
(x-2)2+(y+1)2=16, 따라서 이전과 같이 -2≤x≤4
이 식은 오답이다. 새 원의 중심은 (2,-1), 반지름은 4이므로 x의 범위는 중심의 x좌표에서 반지름만큼 이동한 -2≤x≤6이다. 이전 문제의 오른쪽 경계 4를 그대로 사용한 것이 오류다.
틀린 줄 옆에서 중심과 반지름을 다시 확인하기
- 틀린 줄인 ‘이전과 같이 -2≤x≤4’에 표시한다.
- 구의 표준형에서 중심 (2,-1,3), 반지름 4를 다시 읽는다.
- z=3을 대입해 원의 중심 (2,-1)과 반지름 4를 확인한다.
- x의 범위를 2-4≤x≤2+4, 즉 -2≤x≤6으로 고친다.
- x=6을 대입하면 (6-2)2+(y+1)2=16에서 y=-1이므로 점 (6,-1,3)이 실제 구 위에 있다.
그래프에서도 중심을 (1,-2)에서 (2,-1)로 옮기고 반지름을 3에서 4로 늘렸을 때 오른쪽 끝이 x=4가 아니라 x=6이 되는지 대조한다. 계산 결과와 좌표 그림이 일치해야 정답 후보의 경계를 확정할 수 있다.
독립 검증: 평면의 위치까지 바꿔 확인하기
새 구를
(x+1)2+(y-3)2+(z+2)2=25
로 바꾸고 평면 z=1과의 교선을 살펴본다. 대입하면
(x+1)2+(y-3)2+9=25
이므로
(x+1)2+(y-3)2=16
이다. 원의 중심은 (-1,3), 반지름은 4이므로 x의 범위는 -5≤x≤3이다. 중심과 평면 조건이 모두 달라졌으므로 이전의 -2≤x≤6을 재사용할 수 없으며, 조건을 읽고 매번 단면의 중심과 반지름을 새로 계산해야 한다.