죽전동고1수학과외: 역함수에서 x와 y를 바꾸는 이유
죽전고등학교, 대지고등학교, 현암고등학교의 학교 프린트와 교과서 문제를 함께 정리할 때 역함수 단원에서는 식의 모양보다 좌표와 문자의 역할을 바꾸는 과정이 중요하다. 성현마을2단지처럼 학교와 귀가 동선이 이어지는 생활권에서 짧게 복습하더라도, 다음 줄로 넘어가기 전에 교환 과정을 답안에 남겨야 한다.
역수를 쓰면 역함수가 되는가
함수 f(x)=(2x-3)/5의 역함수를 구해 보자. 어떤 학생은 다음과 같이 적었다.
f-1(x)=1/f(x)=5/(2x-3)
이 식은 역함수가 아니다. 역함수 기호의 -1은 역수를 뜻하지 않는다. 함수가 입력과 출력을 서로 되돌리는 관계라는 의미다. 실제로 f(2)=1/5이지만, 위에서 구한 식에 1/5를 넣으면 5/(2/5-3)=-25/13이 되어 원래 입력값 2가 나오지 않는다.
교환한 문자를 식에 남기는 과정
y=f(x)로 놓으면
y=(2x-3)/5
먼저 원래 입력을 나타내던 x와 출력인 y의 자리를 바꾼다.
x=(2y-3)/5
그다음에는 ‘이항한다’는 말만 외우지 않고, 양변에 같은 연산을 적용한다. 양변에 5를 곱하면 5x=2y-3이고, 양변에 3을 더하면 5x+3=2y이다. 마지막으로 양변을 2로 나누어
y=(5x+3)/2
를 얻는다. 따라서
f-1(x)=(5x+3)/2
이다. 학생이 교환 단계를 쓰지 않았다면 계산 능력보다 먼저, y=f(x)에서 x와 y의 역할을 실제로 바꾸었는지 확인해야 한다.
말로 근거를 설명한 뒤 계산하기
풀이를 시작하기 전 학생에게 “역함수는 원래 함수의 입력과 출력을 되돌리므로 x와 y를 바꾼 뒤 새 y를 정리한다”고 말하게 한다. 그 설명이 끝나면 다음 네 줄을 순서대로 작성한다.
- y=(2x-3)/5
- x=(2y-3)/5
- 5x+3=2y
- y=(5x+3)/2
특히 오답이 난 줄을 표시할 때는 ‘역수로 처리한 줄’과 ‘문자를 교환하지 않고 정리한 줄’을 구분한다. 그래야 단순 계산 실수인지, 역함수의 정의를 식에 반영하지 못한 것인지 기록할 수 있다.
좌표를 바꾸어 그래프와 연결하기
원래 함수에서 x=4이면 y=1이므로 그래프 위에 점 (4,1)이 있다. 역함수에서는 이 입력과 출력이 바뀌어 점 (1,4)가 나타나야 한다. 실제 역함수식에 x=1을 대입하면
f-1(1)=(5+3)/2=4
가 된다. 이처럼 좌표를 바꾼 그래프 문제에서 바로 답을 제시하지 않고, 학생이 (4,1)을 (1,4)로 바꾸는 이유와 양변에 같은 연산을 적용한 정리 과정을 설명하는지 확인한다.
조건이 바뀐 식에서 확인하는 방법
훈련 뒤에는 같은 식을 반복하지 않고 g(x)=3x+7의 역함수를 제시한다. 학생은 먼저
y=3x+7 → x=3y+7 → x-7=3y → y=(x-7)/3
의 흐름을 스스로 적어야 한다. 이어 원래 함수의 점 (-2,1)을 역함수의 점 (1,-2)로 바꾸고, g-1(1)=(1-7)/3=-2인지 확인한다. 정답만 맞히는 것이 아니라 x와 y를 교환한 정확한 줄, 양변에 같은 연산을 적용한 줄, 오류가 발생한 위치를 말할 수 있을 때 새로운 조건에서도 절차가 유지되는지 판단할 수 있다.