성복동고2수학과외에서 확인하는 미지계수와 연속 조건
성복고등학교의 과제와 지필평가를 준비할 때, 구간별 함수의 식에 들어 있는 미지계수를 먼저 계산하려 하면 연속 조건을 놓치기 쉽다. 성복역롯데캐슬골드타운 생활권처럼 귀가 후 공부 시간이 제한된 상황에서는 식을 길게 전개하기보다, 끊어지는 후보점과 그곳에서 성립해야 할 관계를 먼저 표시하는 풀이가 필요하다.
연속은 한 줄의 공식이 아니라 세 가지 확인이다
함수 f(x)가 x=c에서 연속이려면 다음 세 조건이 모두 성립해야 한다.
- f(c)가 정의되어 있어야 한다.
- limx→c f(x)가 존재해야 한다.
- limx→c f(x)=f(c)이어야 한다.
구간별 함수에서는 식이 바뀌는 경계점마다 왼쪽 식의 값, 오른쪽 식의 값, 경계점에서 실제로 정의된 식을 구분해야 한다.
경계점 두 곳에서 식을 세워야 하는 문제
다음 함수가 모든 실수에서 연속이 되도록 하는 a, b를 구해 보자.
f(x)=
ax+b (x<1)
x2+a (1≤x<2)
bx+1 (x≥2)
경계점은 x=1과 x=2이다. x=1에서는 왼쪽 식과 가운데 식이 만나므로
a+b=1+a
가 성립한다. 따라서 b=1이다.
x=2에서는 가운데 식의 좌극한과 오른쪽 식의 함수값을 비교한다.
22+a=2b+1
앞에서 얻은 b=1을 대입하면
4+a=3, 따라서 a=-1
이다. 실제로 x=1에서 양쪽 값은 0이고, x=2에서 양쪽 값은 3이므로 두 경계점 모두 연속이다.
조건 하나만 세워 a를 결정하려 한 풀이
풀이 여백에는 다음과 같은 식만 남아 있었다.
a+b=1+a → b=1
이 계산 자체는 x=1의 연속 조건으로는 맞다. 그러나 x=2에서도 식이 바뀌므로 두 번째 조건이 필요하다. b=1만으로는 a의 값을 정할 수 없으며, x=2에서
4+a=2b+1
을 추가해야 a=-1을 얻는다. 연속을 “식이 이어지는 것”이라고만 말하면 어느 경계점에서 어떤 식을 비교해야 하는지 빠지기 쉽다. 각 기호가 나타내는 값을 “x=1의 왼쪽 극한”, “x=2의 오른쪽 함수값”처럼 말로 설명한 뒤 식으로 옮겨야 한다.
기호의 뜻을 말한 뒤 식 한 줄을 교체하기
풀이 전에 다음처럼 경계표를 작성한다.
x=1: 왼쪽 ax+b, 오른쪽 1+a
x=2: 왼쪽 4+a, 오른쪽 2b+1
그 뒤 “x=2의 오른쪽 함수값은 bx+1에 x=2를 넣은 2b+1”이라고 설명하고, 누락된 줄을
4+a=2b+1
로 직접 보완한다. 마지막에는 a=-1, b=1을 원래 세 구간에 대입해 x=1과 x=2의 좌우 값이 각각 일치하는지 확인한다.
식의 위치가 바뀌어도 경계점을 먼저 찾는가
검증에서는 다음과 같이 구간의 방향을 바꾼 함수를 제시한다.
g(x)=
2x+p (x≤0)
x2+q (0<x<2)
3x+p+q (x≥2)
이때 x=0과 x=2를 먼저 표시하고, x=0에서는
p=q
x=2에서는
4+q=6+p+q
를 세워야 한다. 두 식에서 p=-2, q=-2를 얻는다. 특히 식의 그래프 방향이나 구간 표시가 달라져도 경계점을 지나가는 좌우 식을 다시 읽고, 각 경계에서 연속 조건을 빠짐없이 세우는지가 확인할 기준이다.