성복동 고3 수학과외에서 확인한 구의 중심 좌표 읽기
성복동의 성복고등학교 학생은 귀가 후 과제량을 먼저 정리한 뒤 시험 준비 순서를 세우고 있었지만, 공간도형 문제에서는 식을 본 즉시 중심 좌표를 판단하는 습관이 반복되었다. 성복역롯데캐슬골드타운 생활권에서 이동하는 일정까지 고려해 짧은 풀이에서도 조건을 식으로 옮기고 검산하는 연습을 진행했다.
괄호 안 부호와 중심 좌표는 반대로 읽어야 한다
구의 표준형은 다음과 같다.
(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2
이때 중심은 (a,b,c), 반지름은 r이다. 따라서 괄호 안에 실제로 나타난 부호를 그대로 좌표에 옮기는 것이 아니라, 각 항을 x-a, y-b, z-c의 형태와 비교해야 한다.
(x+2)2+(y-1)2+(z-4)2=25
이를 표준형과 비교하면 x+2=x-(-2)이므로 x좌표는 -2이다. y-1에서는 y좌표가 1, z-4에서는 z좌표가 4이다. 따라서 중심은 (-2,1,4), 반지름은 5이다.
학생의 오답과 수정 과정
학생은 문제를 읽자마자 괄호의 숫자와 부호를 그대로 읽어 다음과 같이 답했다.
오답: 중심을 (-2,-1,-4)로 판단함
이 답은 틀렸다. (y-1)2는 y좌표가 -1이라는 뜻이 아니라, y-1=y-1이므로 중심의 y좌표가 1이라는 뜻이다. 마찬가지로 (z-4)2의 중심 z좌표도 4이다.
- 틀린 줄 표시: 중심을 (-2,-1,-4)로 읽은 줄에 밑줄을 긋는다.
- 조건 확인: 각 항을 x-a, y-b, z-c와 비교해 a, b, c의 값을 따로 찾는다.
- 식 수정: x+2=x-(-2), y-1=y-1, z-4=z-4이므로 중심을 (-2,1,4)로 고친다.
- 재대입: 중심 (-2,1,4)를 구의 식에 넣으면 (x-(-2))2+(y-1)2+(z-4)2=25가 되어 원식과 일치한다.
경계점으로 공식 사용을 검산하기
중심 (-2,1,4), 반지름 5인 구가 맞는지 중심에서 한 축 방향으로 5만큼 떨어진 점을 대입했다. 점 (3,1,4)는 중심에서 x방향으로 5만큼 떨어져 있으므로
(3+2)2+(1-1)2+(4-4)2=52=25
가 성립한다. 따라서 이 점은 구의 표면 위에 있고, 중심 좌표와 반지름 해석이 일치한다. 반대로 오답 중심 (-2,-1,-4)를 사용하면 이 점까지의 제곱거리는 25+4+64=93이 되어 구의 표면 조건을 만족하지 않는다.
조건을 바꾼 독립 검증
다음 새 문제로 같은 습관을 점검했다.
(x-3)2+(y+5)2+(z+1)2=16
학생이 부호를 그대로 읽으면 중심을 (3,5,1)로 잘못 적기 쉽다. 하지만 x-3=x-3, y+5=y-(-5), z+1=z-(-1)이므로 정확한 중심은 (3,-5,-1), 반지름은 4이다.
점 (3,-1,-1)을 대입하면
(3-3)2+(-1+5)2+(-1+1)2=0+16+0=16
이므로 구 위의 점이 된다. 새 식에서도 괄호의 부호가 아니라 표준형의 변수 관계를 확인한 뒤 대입 검산까지 해야 중심을 정확히 정할 수 있다.