성복동고1수학과외, 역함수와 일대일대응을 함께 판단하기
성복동의 고1 수학 학습에서는 역함수의 식을 외우는 것보다 원래 함수가 역함수를 가질 조건을 먼저 연결해야 한다. 성복고등학교 과제와 시험 준비를 귀가 후 짧은 시간에 정리할 때도 일대일대응 여부 → x와 y 교환 → y에 대한 정리의 흐름을 한 줄로 남기는 것이 필요하다.
역수로 바꾼 식이 왜 역함수가 아닌가
학교 프린트에서 다음 함수의 역함수를 구하는 장면을 살펴보자.
f(x)=3x-5
학생은 풀이에 f⁻¹(x)=1/(3x-5)라고 적었다. 이는 함수값의 역수일 뿐, 입력과 출력의 역할을 뒤집은 역함수가 아니다. 역함수는 f⁻¹(f(x))=x가 되어야 한다.
실제로 올바른 과정은 다음과 같다.
y=3x-5에서 x와 y를 교환하면 x=3y-5이다. 따라서 3y=x+5이므로
y=(x+5)/3
결국 f⁻¹(x)=(x+5)/3이다. 반면 1/f(x)를 합성하면 일반적으로 x로 돌아오지 않으므로 역함수가 아니다.
식보다 먼저 확인할 일대일대응
역함수가 존재하려면 서로 다른 두 입력이 같은 출력으로 가지 않아야 한다. 즉 함수가 일대일이어야 한다. f(x)=3x-5에서 f(a)=f(b)라고 두면
3a-5=3b-5 → 3a=3b → a=b
가 된다. 따라서 이 함수는 일대일이고 역함수를 갖는다. 그래프에서는 모든 수평선이 직선 y=3x-5와 한 번만 만나는 것으로도 같은 사실을 확인할 수 있다.
풀이 시작 전: “역함수 존재 조건인 일대일대응을 확인하고, y=f(x)에서 x와 y를 바꾼 뒤 y에 대해 정리한다.”
이 문장을 적지 않은 채 바로 공식을 적용하면, 역수와 역함수를 구분하지 못한 상태가 풀이에 그대로 드러난다.
분수식에서도 교환 순서를 생략하지 않기
조금 더 복잡한 함수에서는 교환 단계를 건너뛸수록 오류가 커진다.
f(x)=(2x-3)/(x+1), x≠-1이라 하자. y=(2x-3)/(x+1)에서 x와 y를 바꾸면
x=(2y-3)/(y+1)
이다. 양변에 y+1을 곱하면 x(y+1)=2y-3, 즉 xy+x=2y-3이다. 따라서 x+3=y(2-x)이므로
y=(x+3)/(2-x)
이다. 따라서 f⁻¹(x)=(x+3)/(2-x), 단 x≠2이다. 원래 함수에서 x=-1을 제외했듯이, 역함수에서는 분모가 0이 되는 x=2를 제외해야 한다.
정답을 맞혀도 남겨야 할 확인 행동
학생이 답을 기억해 f⁻¹(x)=(x+3)/(2-x)를 바로 적었다면 결과는 맞을 수 있다. 그러나 x와 y를 교환한 줄과 일대일대응 판단이 없다면 새로운 식에서 같은 판단을 재현할 수 있는지는 아직 확인되지 않은 상태다.
수정할 때는 식 옆에 다음 두 항목을 실제로 표시한다.
- f(a)=f(b)에서 a=b인지 확인한다.
- y=f(x)의 x와 y를 바꾼 뒤 y에 대해 정리한다.
분수식의 경우에는 마지막에 역함수의 분모가 0이 되는 값도 적는다. 이렇게 해야 식을 구한 뒤 정의역 조건을 빠뜨리지 않는다.
기억한 답이 아닌 판단을 확인하는 변형 문제
훈련에서는 숫자만 바꾼 식을 반복하지 않고, 다음 문장제처럼 조건과 구할 대상을 바꾼다.
어떤 양의 실수 t에 대해 온도를 u=4t+7로 나타낼 때, t를 u로 나타내는 함수를 구하여라.
먼저 t와 u가 일대일로 연결되는지 확인한다. 4t+7은 기울기가 0이 아닌 일차함수이므로 서로 다른 t가 같은 u를 만들지 않는다. u=4t+7에서 t=(u-7)/4이므로 역관계는 t=(u-7)/4이다. 여기서 학생이 공식부터 쓰지 않고 ‘주어진 값 u에서 원래 입력 t를 구한다’고 판단하는지 살핀다.
또한 문제에 함께 제시된 측정 시각이나 표의 단위처럼 t와 u의 역관계에 직접 쓰이지 않는 정보는 식을 세울 때 제외해야 한다. 성복역롯데캐슬골드타운 등 생활권에서 귀가한 뒤 과제량이 많은 날에는 문제의 모든 수치를 식에 넣으려 하지 말고, 역함수의 입력과 출력에 해당하는 두 양을 먼저 표시하는 방식으로 검증한다.