상현동고2수학과외

상현동고2수학과외에서는 통학과 과제 사이에 짧게 풀더라도, 구간별 함수의 경계에서 식을 끝까지 대조하는 습관을 확인한다. 상현고등학교와 서원고등학교처럼 상현동에서 통학하는 학생은 시험 직전 풀이량이 늘기 쉬워 한 줄의 생략이 오답으로 이어지지 않도록 답안의 근거를 남겨야 한다.

왼쪽 식만 대입해 연속이라고 판단한 순간

다음 함수가 x=1 에서 연속인지 판단해 보자.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}x+2& x<1\\ 2x& x\ge 1\end{array}\right.$

경계가 1이므로 왼쪽에서는 $\underset{x\to 1⁻}{\lim }f\left(x\right)=3$이다. 그런데 풀이에서 왼쪽 식에만 1을 대입한 뒤 “함숫값은 3이므로 연속”이라고 적었다면, 구간 조건을 반대로 사용한 것이다.

실제로 오른쪽 식이 적용되는 경계에서는 $\underset{x\to 1⁺}{\lim }f\left(x\right)=2$이고, $f\left(1\right)=2$이다. 좌극한 3과 우극한 2가 다르므로 양쪽 극한은 존재하지 않으며, 이 함수는 x=1에서 연속이 아니다.

경계에서는 세 값을 따로 세우기

연속 여부는 왼쪽 극한 하나로 결정하지 않는다. 경계점에서는 다음 세 항목을 구분해 적는다.

1. $\underset{x\to 1⁻}{\lim }f\left(x\right)$
2. $\underset{x\to 1⁺}{\lim }f\left(x\right)$
3. $f\left(1\right)$

그 뒤 좌극한과 우극한이 같고, 그 공통값이 함숫값과 같은지 확인한다. 답안에는 먼저 “왼쪽 식은 x<1, 오른쪽 식은 x≥1”이라고 조건을 표시하게 한다. 이번 오류 유형은 다른 계산을 다시 하는 것이 아니라, 경계에서 적용할 조건을 빠뜨린 ‘조건 오류’로 분류한다.

식으로 바꾼 연속 조건 검증

그래프 없이 다음 문항을 새로 풀어 보자.

$g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}-2x+5& x<2\\ x²+b& x\ge 2\end{array}\right.$

왼쪽 극한은 $-2\times 2+5=1$이다. 오른쪽 극한과 함숫값은 같은 식에서 계산되므로 $4+b=1$, 따라서 $b=-3$이다.

이때도 왼쪽 식만 대입하지 않고, x=2가 오른쪽 구간에 포함된다는 조건을 먼저 확인했는지가 풀이의 기준이다. 조건을 처음부터 세운 뒤 좌우극한과 함숫값을 모두 적었다면, 계수와 부호가 바뀐 문항에서도 연속의 판단 근거가 유지된 것이다.