상현동고1수학과외, 합성함수의 구조를 보존하는 대입
상현고등학교와 서원고등학교가 있는 상현동에서는 통학과 과제가 겹치는 날에도 학교 프린트의 합성함수 문제를 짧게 정확히 점검해야 한다. 이때 계산을 빨리 전개하는 것보다 바깥 함수의 구조 안에 안쪽 함수를 끝까지 유지하는 과정이 먼저다.
괄호를 지운 순간 사라진 항
예를 들어 f(x)=2x-3, g(x)=x2+x일 때 합성함수 (f∘g)(x)는
f(g(x))=2g(x)-3=2(x2+x)-3=2x2+2x-3
이다. 학생의 답안에는 중간 줄에 2x2+x-3이라고 적혀 있었다. 안쪽 식 x2+x 전체에 2를 곱해야 하는데, 첫 항에만 곱한 뒤 바로 다음 계산으로 넘어간 것이다. 답지를 본 뒤에는 이 줄을 표시하지 않고 최종 정답만 덮어썼다.
전개보다 먼저 남겨 둘 표시
합성 결과를 계산할 때는 f(□)=2□-3처럼 바깥 함수의 입력 자리를 비워 둔 뒤 □ 전체에 g(x)를 넣는다.
f(g(x))=2(g(x))-3
=2(x2+x)-3
이 괄호는 장식이 아니라 곱셈의 범위를 나타낸다. 특히 2(x2+x)를 전개할 때는 2가 두 항 모두에 작용하므로 2x2+2x가 된다. 학생이 필요한 항을 함께 없애는 오류를 막으려면, 전개 직전의 구조와 전개 직후의 항을 나란히 적게 한다.
바깥 함수의 식을 먼저 쓰고, 안쪽 함수를 한 덩어리로 대입한 다음, 마지막 줄에서만 전개한다.
말로 확인하지 않아도 답안에 남는 흔적
현재 학생은 이 순서를 알고 있다는 설명은 들었지만, 혼자 풀 때는 2(g(x))-3 같은 중간 구조를 적지 않았다. 따라서 훈련에서는 정답만 맞히는지 보지 않고, f(g(x)) → 2(g(x))-3 → 2(x2+x)-3의 연결을 답안에 남기는지 확인한다.
예를 들어 p(x)=3x+1, q(x)=2x2-x이면
p(q(x))=3(2x2-x)+1=6x2-3x+1
이다. 3q(x)+1을 먼저 적지 않고 곧바로 계산했다면, 어느 항에 3이 곱해졌는지 스스로 설명하기 어렵다.
표현이 달라진 프린트에서 확인하기
교과서와 표현이 다른 학교 프린트에서 h(x)=x-4, k(x)=x2+3x에 대해 (h∘k)(x)를 구하게 한다.
정확한 전개는
h(k(x))=k(x)-4=(x2+3x)-4=x2+3x-4
이다. 여기서는 바깥 함수의 계수가 1이므로 안쪽 식의 항을 임의로 없애면 안 된다. 학생이 먼저 k(x)를 하나의 입력으로 두고, 현행 합성함수 계산과 선행 대입 과정을 스스로 구분해 순서를 조정하는지 살핀다.
마지막으로 결과를 다시 묶어 (x2+3x)-4로 되돌려 본다. 전개 과정에서 빠진 항이 있다면 역으로 괄호를 복원할 때 드러난다. 같은 문제의 반복이 아니라 새로운 수치와 다른 표현의 프린트에서도 이 구조 보존과 역검산이 이어질 때, 합성함수 대입을 계산 절차로 사용할 수 있다고 판단한다.