상현동 고3수학과외에서 점의 위치 관계를 다시 확인한 사례
상현고등학교와 서원고등학교가 있는 상현동에서는 통학과 과제 시간이 함께 늘어난 고3 학생이 짧은 시간에 풀이 결론을 적용하려다 조건을 놓치는 일이 있었다. 상현지구대와 상현마을 동일스위트아파트 주변 생활권에서 이동한 뒤에도, 문제를 풀 때는 지역보다 좌표와 비의 방향을 먼저 확인해야 한다.
내분비가 뒤집힌 순간
학생은 두 점 \(A(2,-1)\), \(B(8,5)\)를 \(AP:PB=2:1\)로 내분하는 점을 구하는 과정에서 다음과 같이 계산했다.
\(P=\left(\frac{2\cdot2+1\cdot8}{2+1},\frac{2\cdot(-1)+1\cdot5}{2+1}\right)=(4,1)\)
이 식은 틀렸다. \(AP:PB=2:1\)이면 \(P\)는 \(A\)보다 \(B\)에 가까워야 하므로 \(B\)의 좌표에 더 큰 가중치가 붙어야 한다. 정확한 내분 공식은
\[ P=\left(\frac{1\cdot2+2\cdot8}{3},\frac{1\cdot(-1)+2\cdot5}{3}\right) =(6,3) \]
이다. 실제로 \(P-A=(4,4)\), \(B-P=(2,2)\)이므로 두 벡터의 크기 비는 \(2:1\)이다. 반면 잘못된 점 \((4,1)\)은 \(AP:PB=1:2\)를 만족한다.
끝점 포함 여부와 해의 존재 확인
다음에는 \(C(-3,4)\), \(D(5,-2)\)에서 \(CQ:QD=3:1\)인 점을 구하되, \(Q\)가 선분 \(CD\) 위에 있어야 한다고 했다. 학생은 앞 문제의 가중치를 그대로 사용해
\[ Q=\frac{3C+D}{4}=( -1,\,\tfrac52) \]
라고 적었다. 이것도 오답이다. \(CQ:QD=3:1\)이면 \(D\) 쪽 가중치가 3이어야 하므로
\[ Q=\frac{C+3D}{4} =\left(\frac{-3+24}{4},\frac{4-6}{4}\right) =\left(\frac{21}{4},-\frac12\right) \]
이다. 학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 먼저 \(C\)와 \(D\) 옆에 각각 포함 여부를 적었다. 내분점은 \(0<t<1\)인 \(Q=C+t(D-C)\)로 표현되며, 외분점은 \(t<0\) 또는 \(t>1\)에서 선분 밖에 놓인다는 관계를 확인했다.
또한 \(Q=C+\frac34(D-C)\)로 다시 계산하여
\[ Q=(-3,4)+\frac34(8,-6) =\left(\frac{21}{4},-\frac12\right) \]
를 얻고, \(CQ=\frac34CD\), \(QD=\frac14CD\)이므로 \(CQ:QD=3:1\)인지 역계산했다. 조건이 \(CQ:QD=1:3\)인데 \(Q\)가 선분 위에 있어야 한다면 해는 존재하지만 위치는 \(C\)에 더 가깝고, \(Q\)가 선분 밖이라는 조건까지 붙으면 해당 조건과 모순되어 해가 없다는 점도 구분했다.
비를 바꾼 독립 검증
새 문제에서는 \(E(-4,-1)\), \(F(6,7)\)에 대해 \(ER:RF=1:4\)이고 \(R\)이 선분 \(EF\) 위에 있다고 설정했다. 이전의 \(3:1\) 가중치를 버리고
\[ R=\frac{4E+F}{5} =\left(\frac{-16+6}{5},\frac{-4+7}{5}\right) =(-2,\tfrac35) \]
로 계산했다. \(R-E=(2,\frac85)\), \(F-R=(8,\frac{32}{5})\)이므로 \(RF=4ER\)이고, \(R\)은 두 끝점 사이에 있다. 반대로 \(ER:RF=5:1\)을 요구하면서 \(R\)을 선분 위에 둔다면 가중치를 바꾸어도 가능하지만, 외분점 조건을 동시에 요구하는 경우에는 선분 내부 조건과 충돌하므로 해가 없다고 판단해야 한다.
이 과정을 통해 학생은 앞 문제의 숫자나 가중치를 복사하지 않고, 비의 방향, 선분 포함 여부, 좌표식의 계수를 각각 확인한 뒤 거리식과 역계산으로 답을 검증했다.