동천동고2수학과외

동천동고2수학과외에서 점검하는 구간별 함수의 연결점

용인시 수지구 동천동에는 해당 지역명 주소로 확인되는 고등학교가 없으므로, 수지고·서원고·죽전고·성복고·용인홍천고 등 같은 수지구의 통학권 자료를 참고해 학교별 시험 범위와 평일 귀가 시간을 함께 고려한 학습 흐름을 잡을 수 있다. 이때 함수의 연속 단원에서는 풀이 시간을 줄이는 것보다 연결점에서 어떤 식을 대입했는지 한 줄씩 남기는 일이 중요하다.

x=1에서 어느 식이 함수값을 결정하는가

다음 함수가 x=1에서 연속이 되도록 상수 a의 값을 구해 보자.

연속 조건은 왼쪽에서 다가간 값, 오른쪽에서 다가간 값, 실제 함수값이 모두 같아야 한다는 뜻이다.

• $\backslash displaystyle\backslash lim\_\{x\backslash to1^-\}f(x)=1+2=3$
• $\backslash displaystyle\backslash lim\_\{x\backslash to1^+\}f(x)=a+1$
• $f(1)=a\backslash cdot1+1=a+1$

따라서

$3=a+1$

이므로 $a=2$이다. 여기서 x=1은 두 번째 구간인 $x\backslash ge1$에 포함되므로 함수값에는 두 번째 식을 사용해야 한다.

왼쪽 식만 대입한 풀이에서 생긴 오류

학생의 재풀이에는 다음과 같은 줄이 남아 있었다.

$f(1)=1+2=3$

이 계산은 에서만 사용할 수 있는 첫 번째 식을 x=1에 대입한 것이다. 첫 번째 식의 극한값을 구할 때는 맞지만, 실제 함수값을 구하는 줄에서는 조건을 어겼다. 그래서 $f(1)$이 a와 무관하다고 잘못 판단하게 된다.

경계값을 다음처럼 분리해 적으면 원래 식을 보존하면서 오류를 찾을 수 있다.

이 표에서 보듯 왼쪽 식은 $x=1$에서의 함수값을 정하지 않는다. 구간의 등호가 어느 쪽에 붙어 있는지 먼저 확인해야 한다.

숫자를 넣어 경계 식을 다시 확인하기

새로운 함수로 판단을 유지하는지 확인한다.

x=2에서 연속이 되려면 왼쪽 극한은

$\backslash displaystyle\backslash lim\_\{x\backslash to2^-\}g(x)=2\backslash cdot2-1=3$

이고, x=2는 두 번째 구간에 포함되므로

$g(2)=2^2+k=4+k$

이다. 두 값을 같게 놓으면

$3=4+k,\backslash qquad\; k=-1$

이 된다. $2x-1$을 x=2에 대입해 함수값을 3이라고 쓰면 앞선 오류를 반복하는 셈이다. 학교별 시험 일정과 귀가 시간을 고려해 짧게 복습하더라도, 연결점에서는 “경계값이 포함된 구간”, “왼쪽 극한”, “함숫값”을 각각 실제 식으로 남겨야 한다.