동천동고1수학과외, 세 함수 합성의 안쪽부터 바깥쪽 계산
동천역 생활권에서 학교 프린트와 교과서 문제를 함께 정리할 때, 세 함수의 합성은 계산 속도보다 순서를 먼저 고정해야 한다. 특히 평일 귀가 후 시간이 짧은 날에는 중간 식만 맞는지 확인하고 원래 합성식으로 돌아가지 않는 경우가 생긴다.
괄호가 알려 주는 계산의 출발점
함수 f(x)=2x-1, g(x)=x^2+3, h(x)=\sqrt{x+4}가 주어졌다고 하자. (h∘g∘f)(2)는 오른쪽 함수부터 적용한다.
f(2)=3이므로 먼저 g(3)=3^2+3=12를 구하고, 마지막으로 h(12)=\sqrt{16}=4를 계산한다. 따라서
(h∘g∘f)(2)=4
이다. 합성 기호를 왼쪽부터 읽어 h를 먼저 계산하는 것이 아니라, 입력값 2가 f를 거쳐 g, 다시 h로 이동한다는 관계를 식에 표시해야 한다.
중간값은 맞았지만 원래 식을 놓친 답안
학생의 풀이에는 다음처럼 적혀 있었다.
f(2)=3, g(3)=12
따라서 답은 12
앞의 두 계산은 맞지만 12는 아직 h에 입력하기 전의 값이다. 마지막 함수 적용이 빠졌으므로 세 함수 합성의 결과가 아니다. 이 답안에서는 여백에 순서를 확인한 흔적도 없고, h(g(f(2)))로 돌아가 점검하는 줄도 없다.
수정할 때는 빠진 단계가 발생한 위치를 표시한 뒤 그 줄부터 다시 쓴다.
f(2)=3 → g(f(2))=g(3)=12 → h(g(f(2)))=h(12)=4
이렇게 쓰면 각 중간값의 역할이 달라지는 것을 확인할 수 있다. 3은 g의 입력이고, 12는 h의 입력이며, 최종 답은 4이다.
식 전체를 먼저 괄호로 묶어 보기
문자를 합성할 때도 같은 원칙이 적용된다. f(x)=x-2, g(x)=3x, h(x)=x+5라면
(h∘g∘f)(x)=h(g(f(x)))
이고, 안쪽부터 대입하면
g(f(x))=3(x-2)=3x-6,
h(g(f(x)))=(3x-6)+5=3x-1
이다. 반대로 f(g(h(x)))는 전혀 다른 합성이다. 함수 이름의 배열을 보고 계산 방향을 정한 뒤, 실제 식에서는 괄호 속 함수부터 처리해야 한다.
서술형에서는 계산 외의 조건도 남긴다
수지구 통학권의 학교 프린트처럼 서술형 문항을 연습할 때는 식만 적고 끝내지 않는다. 예를 들어 p(x)=x+1, q(x)=2x, r(x)=x^2이고 (r∘q∘p)(3)을 구하라는 문제에 숫자 8이 불필요하게 함께 제시되었다면, 8을 계산에 끼워 넣지 않고 주어진 합성의 구조를 따른다.
p(3)=4, q(4)=8, r(8)=64이므로 결론은 (r∘q∘p)(3)=64이다. 답안에는 “입력 3에 p, q, r을 차례로 적용했다”는 조건과 “따라서 값은 64이다”라는 결론까지 남긴다.
표현이 바뀌어도 같은 구조인지 확인하기
마지막에는 같은 숫자를 반복하지 않고 표현을 바꾼다. a(t)=t-4, b(t)=t^2, c(t)=2t+1에 대해 c(b(a(5)))를 계산하게 한다.
a(5)=1, b(1)=1, c(1)=3이므로 결과는 3이다. 이때 학생이 식을 a(b(c(5)))로 바꾸지 않고, c(b(a(5)))가 “a에서 시작해 b, c로 나아가는 세 단계 적용”임을 스스로 설명하는지 본다.
서술형 답안에 계산식, 사용한 조건, 최종 결론이 모두 남아 있고, 숫자 8처럼 불필요한 정보가 있어도 합성 순서를 유지한다면 새로운 표현에서도 같은 개념을 적용한 것으로 확인할 수 있다.