동천동 고3수학과외 좌표 풀이에서 첫 오류 찾기
동천동에서 수지구 통학권의 용인홍천고등학교, 수지고등학교, 서원고등학교, 죽전고등학교, 성복고등학교를 참고해 학습 일정을 세울 때는 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려할 필요가 있다. 이 학생은 귀가 후 풀이를 다시 정리했지만, 틀린 문제를 처음부터 반복해서 쓰느라 핵심 오류를 찾는 데 시간이 오래 걸렸다.
외분점에서 분모를 잘못 선택한 풀이
점 \(A(2,-1)\), \(B(8,5)\)를 \(2:1\)로 내분하는 점과 외분하는 점을 구하는 문제를 풀었다.
학생은 내분점부터 다음과 같이 계산했다.
\(P=\left(\frac{2\cdot8+1\cdot2}{2+1},\frac{2\cdot5+1\cdot(-1)}{2+1}\right)=(6,3)\)
내분점은 \(AP:PB=2:1\)이므로 이 계산은 맞다. 그러나 외분점에서 학생은 내분점의 분모를 그대로 사용했다.
오답: \(Q=\left(\frac{2\cdot8-1\cdot2}{2+1},\frac{2\cdot5-1\cdot(-1)}{2+1}\right)=\left(\frac{14}{3},\frac{11}{3}\right)\)
이 식은 틀렸다. 외분점은 두 점 사이가 아니라 선분의 바깥에 있으므로 가중치의 차를 사용해야 한다. 외분비 \(m:n\)에서 내분점은 분모 \(m+n\), 외분점은 분모 \(m-n\)이다.
첫 불일치 지점만 표시해 수정하기
- 학생은 오답 전체를 처음부터 다시 쓰지 않고, 분모가 바뀐 첫 줄에 별표를 표시한다.
- 내분은 \(m+n=3\), 외분은 \(m-n=1\)이라는 조건을 확인한다.
- 외분식을 \(Q=\left(\frac{m x_B-n x_A}{m-n},\frac{m y_B-n y_A}{m-n}\right)\)로 수정한다.
- \(Q=\left(\frac{2\cdot8-1\cdot2}{2-1},\frac{2\cdot5-1\cdot(-1)}{2-1}\right)=(14,11)\)을 얻는다.
수정 뒤에는 역계산으로 확인했다. \(Q-A=(12,12)\), \(Q-B=(6,6)\)이므로 두 벡터는 같은 방향이고 길이의 비는 \(12\sqrt2:6\sqrt2=2:1\)이다. 따라서 \(Q\)는 \(A\)와 \(B\)를 잇는 선분의 \(B\) 쪽 바깥에 있으며 외분 조건도 만족한다.
조건을 바꾼 독립 검증
새 문제에서는 \(C(-1,4)\), \(D(9,-6)\)를 \(3:2\)로 외분하는 점을 구했다.
\(R=\left(\frac{3\cdot9-2\cdot(-1)}{3-2},\frac{3\cdot(-6)-2\cdot4}{3-2}\right)=(29,-26)\)
학생은 이번에는 분모를 \(3+2\)로 쓰지 않고 \(3-2\)로 선택했다. 검산하면 \(R-C=(30,-30)\), \(R-D=(20,-20)\)이므로 길이의 비는 \(30\sqrt2:20\sqrt2=3:2\)이다. 분모의 부호와 합·차 조건을 먼저 확인하는 습관이 좌표와 대칭 조건을 다루는 풀이의 최초 오류를 줄여 준다.