수정구 고3 수학과외에서 표본과 모수의 첫 오류 찾기
수정구의 위례한빛고등학교, 풍생고등학교, 효성고등학교, 복정고등학교, 성보경영고등학교 학생들은 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간이 서로 다를 수 있다. 그래서 통계 단원을 복습할 때도 정답만 다시 적기보다, 문제의 모집단과 표본을 구분한 뒤 틀린 첫 줄을 찾아 고치는 방식이 필요하다.
계산보다 먼저 확인할 대상
어떤 지역 고등학생 전체의 하루 평균 학습 시간을 조사한다고 하자. 모집단의 평균은 모수인 μ, 표본에서 계산한 평균은 통계량인 ¯x이다. 모집단의 표준편차가 σ=8분이고, 크기 n=64인 표본에서 표본평균이 ¯x;=72분으로 나왔다면 표본평균의 표준오차는
σ/√n; = 8/√64 = 1
이다. 95% 신뢰구간은 표본평균을 중심으로
¯x; ± 1.96×σ/√n; = 72 ± 1.96
이므로 [70.04, 73.96]이다. 이 구간은 모집단 평균 μ를 추정하기 위한 구간이다.
학생의 오답에서 처음 잘못된 줄
학생의 풀이
μ=72, P(70.04≤¯x;≤73.96)=0.95
위 식은 계산 결과만 틀린 것이 아니라, 첫 줄에서 모수와 통계량을 섞은 것이 오류다. 72는 모집단 평균 μ가 아니라 주어진 표본평균 ¯x;이다. 또한 신뢰구간을 구한 뒤에는 이미 관측된 표본평균을 확률변수처럼 두고 P(70.04≤¯x;≤73.96)=0.95라고 쓰지 않는다.
정확한 해석은 다음과 같다.
¯x;=72는 표본에서 얻은 통계량이고, 70.04≤μ≤73.96은 모수에 대한 95% 신뢰구간이다. 반복해서 표본을 추출해 같은 방법으로 구간을 만들면 그중 약 95%가 실제 모수 μ를 포함한다는 뜻이다.
틀린 줄을 표시하고 다시 검산한 과정
- 틀린 줄 표시: μ=72와 P(70.04≤¯x;≤73.96)=0.95
- 조건 확인: 모집단 평균은 모수 μ, 표본에서 계산된 평균은 통계량 ¯x;이며 n=64, σ=8이다.
- 식 수정: ¯x;=72, 표준오차는 8/√64=1, 신뢰구간은 72±1.96이다.
- 대입 검산: 72-1.96=70.04, 72+1.96=73.96이므로 70.04≤μ≤73.96이다.
학생은 좌우 칸에 오답과 수정식을 나란히 적는다.
| 오답 | 수정 |
|---|---|
| μ=72 | ¯x;=72 |
| P(70.04≤¯x;≤73.96)=0.95 | 95% 신뢰구간: 70.04≤μ≤73.96 |
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 모집단 표준편차가 σ=10, 표본 크기가 n=100, 표본평균이 ¯x;=68분이고 허용오차를 95%에서 사용하는 대신 90% 신뢰수준으로 바꾼다. 이때 표준오차는
10/√100=1
이고 90%의 임계값은 약 1.645이므로 신뢰구간은
68 ± 1.645×1 = [66.355, 69.645]
이다. 후보값 μ=67과 μ=70을 각각 검사하면 67은 구간 안에 있지만 70은 구간 밖이다. 따라서 이 문제에서도 68은 μ가 아니라 ¯x;이며, 바뀐 신뢰수준과 표준오차를 먼저 확인해야 올바른 판단에 도달한다.