공비는 항의 비가 아니라 항번호 차이만큼의 거듭제곱이다
수정구의 위례한빛고등학교, 풍생고등학교, 효성고등학교, 복정고등학교 등에서 고2 수열을 공부할 때 등비수열의 공비 계산은 짧은 식으로 출제되지만, 계산 줄 하나에서 오류 원인이 드러난다. 남위례역이나 복정지구에서 귀가한 뒤 학교 프린트의 풀이를 점검할 때도 답만 지우기보다 어느 관계를 빠뜨렸는지 남겨야 한다.
문제는 다음과 같다.
등비수열 {an}에서 a2=6, a5=48일 때 공비 r과 a1을 구하여라.
풀이 흔적에 r=48÷6=8이라고 적혀 있었다. 이 계산은 a5와 a2 사이에 몇 번 공비가 곱해졌는지를 반영하지 않은 것이다. a2에서 a5까지는
a3=6r, a4=6r2, a5=6r3
이므로
48=6r3 → r3=8 → r=2
이다. 따라서 a2=a1r에 대입하면 6=2a1이므로 a1=3이다. 실제로 3, 6, 12, 24, 48이 되어 조건을 만족한다.
오류를 지우기 전에 계산 줄의 원인을 기록하기
이 경우 정답만 8에서 2로 바꾸면 같은 실수가 반복될 수 있다. 먼저 다음과 같이 한 문장으로 적는다.
“a2에서 a5까지 세 칸 이동했으므로 48÷6은 r이 아니라 r3이다.”
그 다음 잘못된 줄만 고쳐 48÷6=r3으로 바꾸고, 항번호 차이 5-2=3을 표시한다. 공비를 구한 뒤에는 앞뒤 항을 직접 비교하여 6×2×2×2=48인지 확인한다. 이렇게 해야 부호 오류인지, 비율 오류인지 계산 과정에서 구분할 수 있다.
공비가 음수일 때도 같은 순서를 유지하는가
새 조건으로 a2=-6, a5=48인 등비수열을 살펴본다. 양수인 앞의 예와 달리 부호가 바뀌었지만, 항번호 차이는 여전히 3이다.
48=(-6)r3 → r3=-8 → r=-2
따라서 a1r=-6에 r=-2를 넣으면 a1=3이다. 항을 확인하면 3, -6, 12, -24, 48이므로 공비는 매번 -2이고 마지막 항도 정확하다.
이 검증에서 48÷(-6)=-8을 곧바로 공비라고 쓰지 않고, 먼저 r5-2=r3으로 바꾸었는지가 관찰할 지점이다. 부호가 음수로 바뀌어도 항번호 차이와 거듭제곱을 먼저 세우면 양수 조건에서 익힌 판단이 새로운 문제에서도 유지된다.