수정구고1수학과외: 평행이동을 대표점 좌표로 확인하기
학교 프린트에서 도형의 평행이동을 다룰 때 식만 먼저 바꾸면 부호가 쉽게 뒤집힌다. 수정구의 창곡동이나 복정동에서 평일 귀가 후 짧게 복습하더라도, 이동 전후의 대응점을 직접 적는 과정이 빠지지 않아야 한다.
오른쪽 이동인데 왜 식에서는 부호가 달라질까
점 \(P(2,-1)\)를 오른쪽으로 4, 위로 3만큼 평행이동하면 대응점은
\(P'(2+4,-1+3)=(6,2)\)
가 된다. 좌표 변화는 \(x\)에 \(+4\), \(y\)에 \(+3\)을 적용한다. 반면 원래 도형의 방정식이 \(y=f(x)\)라면 오른쪽으로 4만큼 옮긴 식은 \(y=f(x-4)\)이다. 식 안의 \(x\)에는 이동 방향과 반대인 \(x-4\)가 들어간다.
대표점의 좌표 변화와 식 안의 치환은 같은 부호로 처리하지 않는다.
오답표에 빠진 한 줄
실제 풀이에서 학생은 \(y=x^2\)를 오른쪽으로 3, 아래로 2만큼 옮기며 \(y=(x+3)^2-2\)라고 적었다. 이동 방향을 식에 그대로 넣은 것이다. 또한 원점이 어디로 이동하는지, 즉 대응점 \((0,0)\rightarrow(3,-2)\)를 적지 않았다.
이 상태는 평행이동 공식을 전혀 모르는 경우라기보다, 도형 전체의 위치 변화를 대표점으로 확인하지 않은 상태에 가깝다. 오답표에도 ‘대표점 좌표 변화 확인’ 단계가 누락되어 있었다.
대응점을 먼저 적고 식을 결정하기
먼저 원점 \(O(0,0)\)의 이동 결과를 기록한다.
\(O(0,0)\rightarrow O'(3,-2)\)
따라서 새 그래프의 꼭짓점은 \((3,-2)\)이고, 꼭짓점형으로 나타내면
\(y=(x-3)^2-2\)
이다. \(x=3\)을 대입하면 \(y=-2\)가 되어 대응점 \(O'\)를 지나므로 위치도 확인된다. 학생이 처음 쓴 \(y=(x+3)^2-2\)는 꼭짓점이 \((-3,-2)\)에 있으므로 왼쪽 이동을 나타낸다.
좌표 변화량을 두 칸으로 분리하기
연습지에는 매 문제마다 다음처럼 이동량을 따로 적게 한다.
- \(x\)좌표 변화: \(+3\)
- \(y\)좌표 변화: \(-2\)
- 대표점: \((0,0)\rightarrow(3,-2)\)
- 식의 치환: \(x\rightarrow x-3\)
학생이 식을 쓰기 전에 이 네 항목 중 대응점과 변화량을 먼저 작성하면, 이동 방향을 식 안에 그대로 복사하는 오류를 줄일 수 있다. 도움 없이 이 표시부터 시작하는지가 수정 여부를 판단하는 기준이 된다.
부호를 바꾼 새 조건에서 확인하기
복습 마지막에는 같은 식을 반복하지 않고 \(y=x^2\)를 왼쪽으로 2, 위로 5만큼 옮기는 문제를 제시한다. 원점은 \((0,0)\rightarrow(-2,5)\)로 이동하므로 식은
\(y=(x+2)^2+5\)
이다. 학생이 먼저 대응점과 \(x,y\) 변화량을 적고, 꼭짓점에 대입해 식을 검산하는지 본다. 이어 계산 부호 하나를 반대로 바꾼 경우에도 결과를 다시 비교하게 하며, 복습을 끝낼 시점은 학생이 스스로 정하도록 한다.