창곡동 고2수학과외에서 점검하는 등비수열의 공비 판단
남위례역 생활권에서 학교 과제와 이동 시간이 함께 늘어나는 고2 시기에는 풀이 한 줄의 근거를 남기는 습관이 중요하다. 위례한빛고등학교를 비롯해 수정구의 고등학교 수학 문제에서는 등비수열의 항번호를 놓치면 계산 결과가 그럴듯해도 공비가 달라질 수 있다.
48÷6을 바로 공비로 적은 이유
다음 조건을 살펴보자.
a2=6, a5=48
풀이 첫 줄에 r=48÷6=8이라고 적으면 항 사이의 간격이 사라진다. 등비수열의 일반항은
an=a1rn-1
이므로, 두 항의 비를 구할 때는 항번호 차이를 반영해야 한다.
a5/a2=r5-2
48/6=r3
8=r3
r=2
따라서 8은 공비가 아니라 공비의 세제곱이다. 실제로 6×23=48이므로 검산도 일치한다. 처음 어긋난 기호는 48/6=r가 아니라 48/6=r3이어야 한다.
항번호 차이를 식으로 먼저 고정하기
풀이를 다시 쓸 때는 잘못된 기호에 표시한 뒤, 바로 아래에 다음 중간식을 남긴다.
a5=a2r5-2
이 한 줄이 있으면 2번째 항에서 5번째 항까지 세 번 곱해진다는 사실이 드러난다. 즉, 공비를 구하기 전에는 항상
항번호 차이 = 큰 항의 번호 - 작은 항의 번호
를 확인해야 한다. 음의 공비도 가능하므로 부호 역시 항의 관계와 함께 판단해야 하며, 단순히 두 항의 값만 나누어 공비라고 결론 내리면 안 된다.
문자를 넣었을 때도 같은 판단이 남는가
수치를 바꾼 다음 문제를 풀어 보자.
a3=m, a7=n이고 공비를 r이라 하자. 단, m≠0이다.
올바른 관계는
a7/a3=r7-3
n/m=r4
이다. 여기서 n/m을 곧바로 r로 쓰지 않고, 항번호 차이 4를 지수에 반영해야 한다. 예를 들어 m=3, n=48이면
48/3=r4, 즉 r4=16이므로 실수 공비는 r=2 또는 r=-2이다.
이처럼 새로운 계수와 부호가 주어져도 a큰 번호/a작은 번호=r번호 차이를 먼저 쓰는지 확인해야 한다. 답만 적는 것이 아니라, 처음 어긋난 기호를 찾아 올바른 중간식으로 고쳐 썼다면 공비 계산의 근거가 유지된 것이다.