창곡동고1수학과외: 그래프 이동과 점 좌표 변화를 한 원리로 읽기
남위례역을 지나 귀가한 뒤 학교 프린트와 과제를 이어서 처리해야 하는 창곡동의 고1 학생에게는 평행이동처럼 부호 판단이 필요한 문제가 자주 부담이 된다. 특히 함수 그래프의 이동과 점의 좌표 이동을 따로 외우면, 식의 괄호 위치가 달라지는 순간 같은 개념이라는 연결이 끊어진다.
오른쪽으로 3만큼 갔는데 왜 식에서는 빼는가
함수 y=f(x)의 그래프 위 점 (a, f(a))를 오른쪽으로 3만큼 평행이동하면 대응점은
(a+3, f(a))
가 된다. 새 그래프의 식을 구할 때는 새 좌표의 가로값을 x라고 놓는다. 원래 가로값은 x-3이므로 식은
y=f(x-3)
이다. 점의 좌표에서는 x좌표가 3 증가하지만, 함수식 안에서는 원래 입력값을 되찾기 위해 3을 빼는 것이다.
프린트에 남은 오답식의 위치
예를 들어 y=x² 위의 점 (2,4)를 오른쪽으로 3, 위로 2만큼 옮기면 대응점은 (5,6)이다. 따라서 이동한 그래프는
y=(x-3)²+2
가 된다.
그런데 해당 학생은 점을 먼저 (5,6)으로 계산한 뒤, 식을 y=(x+3)²+2라고 적었다. 점 좌표 이동에서는 오른쪽을 더하고, 식에서는 그 점에 도달하기 전 원래 x값을 찾아야 하므로 빼야 한다는 연결이 답안에 나타나지 않은 장면이다. y=(x+3)²+2에 x=5를 넣으면 y=66이 되어 대응점 (5,6)을 지나지 않는 것도 바로 확인할 수 있다.
대응점을 먼저 적고 변화량을 분리하기
수정할 때는 공식을 먼저 고르지 않고 다음 순서로 기록한다.
- 원래 점: (2,4)
- 가로 변화: 오른쪽 3이므로 x: 2→5
- 세로 변화: 위쪽 2이므로 y: 4→6
- 이동 후 식: 새 입력 x에 대응하는 원래 입력은 x-3이므로 y=(x-3)²+2
이제 원래 식의 점을 이동한 식에 대입한다.
x=5일 때 y=(5-3)²+2=4+2=6
계산 결과가 이동 후 점의 y좌표와 일치하므로 좌표 이동과 식의 이동이 같은 변환을 설명한다. 이때 ‘오른쪽 3’이라는 도형의 변화와 ‘식 안에서는 x-3’이라는 입력값의 역추적을 한 줄로 연결해 적는 것이 중요하다.
괄호 위치가 바뀐 식에서도 같은 판단하기
이번에는 y=f(x)의 그래프를 왼쪽으로 4, 아래로 1만큼 이동한 그래프를 생각한다. 점 (-2,5)는
(-6,4)
로 이동한다. 왼쪽 4이므로 새 x좌표는 x-4이고, 원래 입력값은 새 x에 4를 더한 값이다. 따라서 식은
y=f(x+4)-1
이다.
식이 y=f(x+4)-1처럼 괄호 안에 더하기로 나타나도, 도형에서는 왼쪽 이동이다. 학생이 먼저 (-6,4)를 적고, 왜 x+4가 필요한지 설명한다면 숫자 암기가 아니라 원래 점과 새 점의 대응으로 판단한 것이다.
학교 과제 뒤 짧게 확인하는 적용 장면
위례한빛고등학교의 프린트 풀이와 다른 과제가 겹치는 날에는 긴 문제를 여러 개 풀기보다, 한 문제의 대응점을 정확히 설명하게 하는 방식이 적절하다. 다음 문제를 제시한다.
y=f(x)의 그래프 위 점 (3,-2)를 오른쪽으로 5, 아래로 3만큼 평행이동한 그래프의 식과 대응점을 구하여라.
새 점은 (8,-5)이다. 새 x에서 원래 x를 찾으면 x-5이므로 이동한 그래프의 식은
y=f(x-5)-3
이다. 학생이 좌표 변화 (3,-2)→(8,-5)를 먼저 표시하고, 식의 괄호 안 부호가 반대가 되는 이유까지 말하는지 확인한다.
표현은 달라도 같은 개념인지 판별하기
마지막에는 식만 제시하지 않고, “그래프를 왼쪽으로 2, 위로 7 이동했다”는 문장과 y=f(x+2)+7을 연결하게 한다. 이어 대응점 (a,f(a))→(a-2,f(a)+7)을 적게 한다.
교사의 질문 없이도 먼저 도형의 이동 방향과 대응점의 변화를 표시한 뒤 식을 세우고, 괄호 안 부호가 이동 방향과 반대로 나타나는 까닭을 설명한다면 새로운 계수와 괄호 위치에서도 같은 원리를 적용한 것으로 판단할 수 있다. 참고 학교인 풍생고등학교·효성고등학교·복정고등학교·성보경영고등학교를 창곡동 소재 학교로 혼동하지 않고, 현재 학교 과제와 다른 조건의 문제에서 이 연결을 확인하는 것이 기준이다.