창곡동 고3 수학과외: 표본평균과 모집단평균을 구분하는 추정 연습
남위례역을 이용해 위례한빛고등학교에 통학하는 고3 학생은 중학교 때보다 이동 시간과 과제, 시험 범위를 함께 관리해야 했다. 하루 뒤 다시 풀어 보는 통계 문제에서는 계산 순서보다 모집단의 값과 표본에서 얻은 값을 구분하는 것이 먼저였다.
표본평균을 모집단평균으로 바꿔 쓰면 안 되는 이유
모집단의 평균을 μ, 모집단의 표준편차를 σ라고 하자. 크기 n인 표본에서 얻은 표본평균을 x̄ 라 하면 표본평균의 표준화는
Z = (x̄ - μ) / (σ / √n)
으로 나타낸다. 여기서 x̄는 조사한 표본의 평균이고 μ는 전체 모집단의 평균이다. 표본평균을 모집단평균으로 놓으면 표본을 통해 모집단을 추정하는 문제 자체가 사라진다.
예를 들어 모집단의 표준편차가 12이고, 크기 36인 표본의 평균이 74일 때 모집단 평균 μ에 대한 95% 신뢰구간을 구해 보자. 표준정규분포에서 95% 신뢰수준의 임계값을 1.96으로 두면
74 ± 1.96 × 12/√36
= 74 ± 1.96 × 2
= 74 ± 3.92
따라서 신뢰구간은 70.08 ≤ μ ≤ 77.92이다. 표본평균 74를 모집단평균이라고 단정하지 않고, 표본평균을 중심으로 모집단평균이 포함될 구간을 만든 것이다.
학생의 오답을 두 줄 비교표로 고치기
학생은 다음과 같이 풀었다.
오답: x̄ = μ = 74
Z = (74 - 74) / (12/√36) = 0
이 식은 틀린 식이다. 74는 표본 36명의 평균이므로 x̄에 해당한다. 모집단 전체의 평균 μ는 아직 알 수 없으며, 바로 그 μ를 신뢰구간으로 추정해야 한다.
- 원식: Z = (x̄ - μ)/(σ/√n) = (74 - μ)/2
- 변형식: |74 - μ| ≤ 1.96 × 2
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤 표본과 모집단의 역할을 확인하고, x̄에만 74를 대입했다. 이후
|74 - μ| ≤ 3.92
에서 양변을 정리하여 70.08 ≤ μ ≤ 77.92를 얻었다. 양 끝값을 원식에 역대입하면 μ = 70.08일 때 Z = 1.96, μ = 77.92일 때 Z = -1.96이므로 신뢰구간의 경계도 검산된다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 모집단 표준편차가 15, 표본의 크기가 25, 표본평균이 68인 문제로 바꿨다. 신뢰수준은 90%, 임계값은 1.645로 둔다.
학생은 먼저 두 줄을 비교했다.
- 원식: Z = (x̄ - μ)/(σ/√n) = (68 - μ)/3
- 90% 신뢰조건: |68 - μ| ≤ 1.645 × 3
따라서
68 - 4.935 ≤ μ ≤ 68 + 4.935
즉 63.065 ≤ μ ≤ 72.935이다. 이전 문제의 74나 95%라는 조건을 그대로 사용하지 않고, 새 표본평균과 새 표본크기, 새 신뢰수준을 각각 다시 확인했다. μ = 63.065를 표준화하면 Z = 1.645가 되어 경계값과 일치한다.
창곡동에서 고등학교 일정과 이동 시간을 함께 관리하는 학생에게 필요한 통계 풀이 습관은 계산 속도보다 표본에서 관측한 값과 모집단에서 추정할 값을 식의 위치에 정확히 배치하는 것이다.