복정동고2수학과외

복정동고2수학과외: 등비수열에서 항번호와 부호를 끝까지 추적하는 풀이

복정동에서 복정고등학교까지의 이동과 과제 시간을 함께 관리해야 하는 고2 수학에서는 풀이를 길게 쓰는 것보다 식의 기준을 놓치지 않는 일이 중요하다. 특히 등비수열은 일반항만 외우면 된다고 생각하기 쉽지만, 첫째항과 공비, 항번호, 부분합이 한 줄로 연결되어야 변형 문제에서도 흔들리지 않는다.

a_n에서 빠진 n-1이 만든 오답

예를 들어 등비수열의 첫째항이 3, 공비가 2라면 항은 다음처럼 이어진다.

3, 6, 12, 24, …

첫째항에서 a_n까지 공비를 곱하는 횟수는 항번호 자체가 아니라 n-1회이다. 따라서 일반항은

a_n = 3·2^n-1

이다. 그런데 풀이 중 a_n = 3·2ⁿ이라고 쓰면 a₁=6이 되어 첫째항 3과 맞지 않는다. 학생이 항번호를 적지 않고 곧바로 공식을 대입할 때 주로 생기는 오류다.

부분합은 항번호를 건너뛸 수 없다

첫째항이 3이고 공비가 2인 수열의 네 항의 합을 구하면

S₄ = 3 + 6 + 12 + 24 = 45

이고, 등비수열의 합 공식으로도

S_n = a₁(rⁿ-1)/(r-1)

이므로

S₄ = 3(2⁴-1)/(2-1)=45

가 된다. 여기서 S₄를 구하면서 네 번째 항을 일반항의 n=4로 계산하지 않고, 부분합의 항 개수도 생략하면 공식의 지수와 합의 범위가 서로 어긋난다.

역으로 복원하는 한 줄 검산

연습할 때는 정답만 확인하지 않고 사용한 규칙을 거꾸로 적용한다. 일반항에서 n=1을 대입해 첫째항이 복원되는지 확인하고, n=2를 대입해 공비를 한 번만 곱한 값이 나오는지 확인한다.

a_n=3·2^n-1에 대해

• n=1이면 a₁=3·2⁰=3
• n=2이면 a₂=3·2¹=6
• S₄=a₁+a₂+a₃+a₄=45

처럼 항번호와 부분합을 직접 복원한다. 이 과정을 답안에 짧게 남기면 a₁, r, n의 역할을 건너뛰기 어렵다.

공비가 음수로 바뀌었을 때의 순서

조건이 달라져 첫째항이 4, 공비가 -2인 등비수열이라면 항의 부호가 번갈아 바뀐다.

4, -8, 16, -32, …

이때도 일반항은 동일한 구조로

a_n=4(-2)^n-1

이다. n=3을 대입하면 4(-2)²=16이므로 부호와 지수 모두 확인된다. 만약 4(-2)ⁿ이라고 쓰면 n=1에서 -8이 되어 첫째항 조건을 위반한다.

부분합도 부호를 포함해 계산해야 한다.

S₄=4-8+16-32=-20

공식으로 확인하면

S₄=4{1-(-2)⁴}/(1-(-2))=4(1-16)/3=-20

이다. 따라서 새로운 조건에서 먼저 적을 순서는 첫째항 확인 → 공비 확인 → n-1 표시 → 필요한 경우 부분합의 항 개수 확인이다. 마지막으로 n=1을 대입해 첫째항을 복원하면, 계수와 부호가 바뀌어도 이전의 지수 누락이 다시 나타났는지 스스로 판별할 수 있다.

복정지구와 남위례역 주변처럼 이동 구간이 나뉘는 생활에서는 한 번에 긴 문제를 처리하기보다, 풀이마다 일반항의 n=1 검산과 부분합의 항 개수 확인을 짧게 남기는 방식이 등비수열의 변형 조건을 안정적으로 연결해 준다.