복정동고1수학과외, 원점 대칭에서 두 좌표의 부호 바꾸기
복정고등학교 과제와 지필평가를 함께 준비하는 시기에는 통학 후 짧은 시간에 좌표 변환의 핵심을 정확히 처리해야 한다. 원점 대칭은 점의 위치를 감으로 옮기는 문제가 아니라, 좌표의 두 성분을 동시에 바꾸는 규칙을 적용하는 문제다.
다음 줄로 넘어가기 전에 빠진 변환
점 A(3, -5)를 원점에 대하여 대칭시킨 점을 구하는 문제에서 학생은 x좌표 3만 -3으로 바꾼 뒤 다음과 같이 적었다.
A′(-3, -5)
이 식은 학생이 익숙한 방식으로 풀이를 이어 갔지만, y좌표의 부호를 바꾸는 과정이 빠진 오답이다. 원점 대칭은 x축 대칭이나 y축 대칭과 다르므로 한 좌표만 변하게 하지 않는다.
원점 대칭의 좌표 관계
점 P(x, y)를 원점 O(0, 0)에 대칭시킨 점을 P′라고 하면 두 좌표가 모두 반대부호가 되어
P′(-x, -y)
가 된다. 따라서 A(3, -5)는
A′(-3, 5)
로 바뀐다. x좌표는 3에서 -3으로, y좌표는 -5에서 5로 각각 변한다. 원점과의 중점도 확인할 수 있다.
((3 + (-3))/2, (-5 + 5)/2) = (0, 0)
중점이 원점이 되지 않는다면 두 좌표 중 하나의 부호를 놓쳤을 가능성이 크다.
풀이 앞뒤에 같은 규칙을 표시하기
훈련할 때는 계산을 시작하기 전에 원점 대칭 규칙을 먼저 적는다.
(x, y) → (-x, -y)
그 다음 원래 점의 좌표를 대입하고, 결과를 쓴 뒤 다시 두 좌표의 부호가 모두 바뀌었는지 확인한다. 예를 들어 B(-4, 7), C(0, -2)에 대해서는
- B(-4, 7) → B′(4, -7)
- C(0, -2) → C′(0, 2)
처럼 처리한다. 0은 반대부호로 바꾸어도 0이므로 그대로 남지만, 두 좌표에 같은 규칙을 적용했다는 점은 확인해야 한다.
도형의 이동에서는 점마다 변환을 끝낸 뒤 연결하기
삼각형의 꼭짓점이 A(2, 1), B(5, 1), C(2, 4)일 때 원점 대칭한 도형은
- A′(-2, -1)
- B′(-5, -1)
- C′(-2, -4)
이다. 학생이 A의 y좌표만 그대로 두고 바로 선분을 연결하면 원래 도형과 대칭 도형의 위치 관계가 달라진다. 각 꼭짓점의 좌표를 먼저 변환한 뒤 같은 순서로 연결해야 한다.
표현이 달라진 프린트에서 필요한 수량만 고르기
남위례역 주변 이동 경로를 좌표로 나타낸 학교 프린트에서 “점 Q는 원점에서 오른쪽으로 6만큼, 아래로 3만큼 떨어져 있고, 참고로 이동 시간은 12분, 거리는 850m이다. Q를 원점 대칭한 점의 좌표를 구하라”고 제시할 수 있다.
좌표에 필요한 정보는 오른쪽 6과 아래 3뿐이다. 따라서 Q(6, -3)이고, 원점 대칭한 점은 Q′(-6, 3)이다. 이동 시간과 거리는 이 좌표 변환에 사용하지 않는다. 문장 속 모든 수를 식에 넣는 것이 아니라, 구하려는 좌표와 직접 연결된 양만 골라야 한다.
이전 좌표 규칙을 설명할 수 있는지 확인하기
중1에서 다룬 좌표의 부호와 사분면 규칙이 아직 완성되지 않았다면, “왜 Q(6, -3)이 제4사분면인지”, “왜 대칭 후 (-6, 3)이 제2사분면인지”를 말하게 하며 확인한다. 이 설명이 가능하고, 새로운 프린트에서도 필요한 수량만 골라 (x, y) → (-x, -y)를 스스로 적용한다면 앞서 고정한 부호 점검 훈련을 계속 유지한다.