복정동 고3 수학과외: 표본크기가 바뀔 때 표본평균의 분포 다시 보기
복정동에서 복정고등학교로 통학하며 중학교보다 늘어난 과제와 시험을 함께 관리하는 학생은 확률과 통계 문제에서도 조건을 빠르게 읽는 습관이 필요하다. 남위례역과 복정지구 생활권처럼 이동 시간이 일정하지 않은 상황에서는 풀이 시간을 짧게 쓰더라도 표본크기와 표준오차의 관계를 먼저 확인해야 한다.
표본크기가 신뢰구간의 폭을 결정한다
모집단의 평균이 μ=72, 표준편차가 σ=12인 모집단에서 크기 n=36인 표본을 임의추출한다고 하자. 표본평균 𝑋̄의 분포는
𝑋̄ ~ N(72, 122/36)=N(72, 22)
따라서 표준오차는 σ/√n=12/6=2이다. 신뢰수준 95%에서 표본평균으로 모평균을 추정할 때 허용오차를 3 이하로 만들려면
1.96×12/√n ≤ 3
√n ≥ 7.84, 따라서 n ≥ 61.4656이므로 최소 표본크기는 62이다.
앞 문제의 표준오차를 그대로 옮긴 오답
“표본크기가 36에서 144로 네 배가 되었으므로 표본평균의 분포는 N(72, 22)이다.”
이 식은 틀린 식이다. 표본크기가 네 배가 되면 분산은 σ2/n에 따라 4분의 1이 되고, 표준오차는 2분의 1이 된다. 따라서 n=144일 때
σ/√n=12/√144=1
𝑋̄ ~ N(72, 12)
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 체크박스에 [ ] 표본크기 확인 [ ] 표준편차 확인 [ ] 표준오차 계산을 적고 기호의 의미를 다시 확인했다. 특히 n이 분모의 제곱근에 들어간다는 관계를 확인한 후 12/√144로 식을 교체했다. 마지막으로 144개의 자료를 평균낸 값의 변동이 36개를 평균낸 값보다 작아야 한다는 점을 그래프의 분포 폭과 비교하고, 분산 1의 정규분포에서 확률의 총합이 1인지 확인했다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 평균이 아니라 성공 비율을 추정한다. 어떤 제품의 성공률이 p=0.4이고 표본크기가 n=100일 때 표본비율 p̂의 표준오차는
√(p(1-p)/n)=√(0.4×0.6/100)≈0.049
표본크기를 네 배인 n=400으로 바꾸면 표준오차는
√(0.4×0.6/400)≈0.0245
가 된다. 평균 문제의 σ/√n을 비율 문제에 그대로 쓰지 않고, 비율에서는 √(p(1-p)/n)을 사용해야 한다. 학생은 직전 풀이를 보지 않은 상태에서 다음을 다시 표시했다.
- [✓] 평균이 아닌 표본비율 문제인가?
- [✓] 표본크기가 100에서 400으로 네 배가 되었는가?
- [✓] 표준오차가 절반으로 줄었는가?
- [✓] 성공·실패 확률의 합이 0.4+0.6=1인가?
이렇게 평균과 비율의 식을 분리하고, 표본크기가 변할 때 표준오차가 어떻게 달라지는지 직접 계산해야 바뀐 조건에 앞 문제의 결론을 무심코 적용하는 오류를 막을 수 있다.