수원 고2수학과외 | 등비중항을 계수와 부호가 바뀐 식에 연결하기
수원 지역 고등학교의 학교 프린트와 주간 학습 일정은 서로 다를 수 있지만, 등비수열 문제에서 공통적으로 확인해야 할 것은 항 사이의 곱셈 관계다. 최근 풀이에서는 2, x, 8이 등비수열이라는 조건을 보고도 x를 산술평균으로 처리하는 장면이 나타났다.
2, x, 8에서 산술평균 5를 쓰면 생기는 오류
학생은 가운데 항을 다음처럼 계산했다.
x = (2 + 8) ÷ 2 = 5
그러나 산술평균은 등차수열의 가운데 항을 찾을 때 사용하는 관계다. 등비수열에서는 첫째 항과 셋째 항의 곱이 가운데 항의 제곱과 같으므로, 처음 어긋난 기호인 +에 표시하고 아래에 올바른 식을 다시 쓴다.
2, x, 8이 등비수열
▼ x² = 2 × 8
x² = 16
x = 4 또는 x = -4
실제로 2, 4, 8의 공비는 2이고, 2, -4, 8의 공비는 -2이다. 따라서 부호 조건이 따로 제시되지 않았다면 두 값을 모두 고려해야 한다. 산술평균 5는 2, 5, 8의 인접한 비가 각각 5/2, 8/5로 달라져 등비수열이 되지 않는다.
등비중항은 항번호보다 먼저 곱셈 관계를 세운다
이 유형에서는 부분합이나 항번호를 구하는 것이 아니라 세 항의 위치 관계를 읽어야 한다. 세 항을 a, b, c라 하면 등비중항 조건은 다음과 같다.
b² = ac
따라서 문제의 표현 순서가 바뀌거나 계수와 부호가 달라져도 가운데 항을 제곱하고 양끝 항을 곱하는 방식은 유지된다. 풀이 첫 줄에 공식을 바로 쓰기보다, 가운데 항을 표시한 뒤 식을 세우면 산술평균으로 되돌아가는 것을 막을 수 있다.
순서를 바꾼 식에서 조건을 먼저 찾기
다음 식에서 y를 구해 보자.
18, y, 2가 등비수열일 때 y의 값
가운데 항은 y이므로 양끝 항의 곱을 사용한다.
y² = 18 × 2 = 36
y = 6 또는 y = -6
검산하면 18, 6, 2의 공비는 1/3, 18, -6, 2의 공비는 -1/3이다. 새로운 식에서도 산술평균 (18+2)÷2=10을 먼저 쓰지 않고, 가운데 항의 제곱 관계를 스스로 적었다면 등비중항 판단이 유지된 것이다.