수원 고3수학과외: 표본평균이 바뀐 신뢰구간 다시 세우기
수원에는 창현고등학교, 효원고등학교, 권선고등학교, 태장고등학교, 이의고등학교, 동원동우고등학교, 수성고등학교, 수원고등학교 등 여러 일반고가 있고, 매교동·곡반정동·구운동·권선동·서둔동·세류동처럼 생활권과 주간 일정도 다르다. 그래서 신뢰구간 문제도 학교나 지역의 공통 경향보다 학생이 조건을 어떻게 다시 읽고 식으로 옮기는지가 중요하다.
직전 문제의 구간을 그대로 옮긴 오답
한 학생은 모집단의 표준편차가 12, 표본의 크기가 64, 표본평균이 72인 모집단 평균의 95% 신뢰구간을 다음처럼 계산했다.
72±1.96×12/√64=72±2.94
따라서 신뢰구간은 [69.06, 74.94]이다. 이 계산은 옳다.
그런데 다음 문항에서 표본평균이 75, 표준편차가 10, 표본크기가 100으로 바뀌고 신뢰수준이 99%가 되자 학생은 이전 구간을 그대로 적었다.
오답: [69.06, 74.94]
표본평균과 표준편차, 표본크기, 신뢰수준이 모두 달라졌으므로 이 답은 틀렸다. 특히 신뢰구간은 표본평균±임계값×표준오차로 정하므로, 중심값 72를 새 표본평균 75로 바꾸지 않은 것이 첫 오류다.
밑줄 친 조건부터 다시 식으로 연결하기
- 표본평균: 75
- 모집단 표준편차: 10
- 표본크기: 100
- 신뢰수준: 99%, 따라서 표준정규분포의 임계값은 약 2.576
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤 표준오차부터 다시 계산했다.
σ/√n=10/√100=1
그러므로 오차한계는 2.576×1=2.576이고, 신뢰구간은
75±2.576=[72.424, 77.576]
이다. 양 끝점의 중점이 (72.424+77.576)/2=75이므로 새 표본평균과 일치한다. 또 오차한계가 2.576이므로 구간의 길이는 5.152로 계산되어 식과 끝점이 서로 맞는다.
표본크기와 허용오차가 바뀌면 먼저 구조를 확인하기
모집단 표준편차가 10이고 95% 신뢰수준에서 허용오차를 2 이하로 하려면
1.96×10/√n≤2
이어야 한다. 양변을 정리하면
√n≥9.8, n≥96.04
이므로 표본크기는 자연수 조건을 만족하는 97 이상이어야 한다. 학생은 계산 결과를 96으로 반올림하지 않고, 부등식의 방향과 표본크기의 정수 조건까지 확인했다.
평균 문제에서 비율 문제로 바꾼 검증
같은 신뢰구간 개념을 비율에 적용해, 400명을 조사했더니 찬성자가 248명이고 95% 신뢰수준에서 찬성률을 추정한다고 하자.
표본비율은 p̂=248/400=0.62이고, 표준오차는
√{0.62×0.38/400}≈0.02426
이다. 따라서 신뢰구간은
0.62±1.96×0.02426≈0.62±0.04755
이므로 약 [0.57245, 0.66755]이다. 평균 문제의 표준오차 σ/√n을 그대로 사용하지 않고, 비율에서는 √{p̂(1-p̂)/n}을 사용해야 한다는 점을 새 조건에서 확인했다.