수원고1수학과외, 두 평행이동을 하나의 벡터로 합치기
도형의 평행이동 문제에서 “먼저 이동한 결과”와 “최종 이동 결과”를 구하는 것은 다르다. 수원 지역 고등학교의 학교 프린트나 교과서 문제를 정리할 때도 두 이동을 하나의 이동으로 합성하는 중간 판단이 답안의 중요한 부분이 된다.
빠진 한 줄이 만든 불완전한 풀이
점 P(x, y)를 평행이동 (3, -2)만큼 옮긴 뒤 다시 (-5, 4)만큼 옮긴다고 하자. 학생의 답안에는 다음처럼 적혀 있었다.
P(x, y) → P′(x+3, y-2) → P″(x-2, y+2)
최종 좌표 자체는 맞다. 그러나 두 번의 평행이동을 하나로 합성했다는 표시가 없고, 왜 최종 좌표가 그렇게 되는지도 드러나지 않는다. 학생은 마지막 줄을 계산한 뒤 곧바로 다음 문항으로 넘어갔다. 현재 상태는 좌표 계산은 일부 가능하지만, 이동 벡터 사이의 관계를 답안에 나타내는 과정이 아직 안정되지 않은 경우다.
이동 벡터를 먼저 더해야 하는 이유
첫 번째 이동 벡터를 u=(3,-2), 두 번째 이동 벡터를 v=(-5,4)라 하면 합성 이동 벡터는
u+v=(3,-2)+(-5,4)=(-2,2)
이다. 따라서 두 번의 평행이동은 한 번의 평행이동 (-2,2)로 바꾸어 쓸 수 있다. 실제로
(x,y) → (x+3,y-2) → (x+3-5,y-2+4)=(x-2,y+2)
가 되므로 벡터를 더한 결과와 좌표 계산 결과가 일치한다. 평행이동에서는 이동 순서를 바꾸어도
(3,-2)+(-5,4)=(-5,4)+(3,-2)=(-2,2)
이므로 최종 합성 벡터는 같다. 다만 답안에서는 두 이동을 합성한 줄을 생략하지 않고, “합성 이동: (3,-2)+(-5,4)=(-2,2)”라고 먼저 적는 것이 안전하다.
도형 전체에 같은 벡터를 적용하기
삼각형의 세 꼭짓점이 A(1,2), B(4,2), C(2,5)이고 위의 두 평행이동을 차례로 적용한다고 하자. 합성 벡터가 (-2,2)이므로 세 점은 각각
- A(1,2) → A″(-1,4)
- B(4,2) → B″(2,4)
- C(2,5) → C″(0,7)
로 이동한다. 학생이 중간 단계를 빠뜨린 위치를 표시했다면, 그 줄부터 다시 써서 먼저 (-2,2)를 구하고 세 꼭짓점에 동일하게 적용하도록 한다. 꼭짓점마다 서로 다른 이동량을 사용하면 도형의 평행이동이 아니므로, 합성 벡터가 모든 점에 공통으로 적용되는지 확인해야 한다.
매탄권선역과 오목천역 사이의 짧은 학습 시간 활용
매탄권선역이나 오목천역 주변에서 귀가한 뒤 학교별 프린트와 내신 준비 시간이 달라질 수 있으므로, 긴 복습 계획보다 한 문항의 답안 구조를 점검하는 방식이 적절하다. 이동 문제를 풀 때는 계산 줄 앞에 합성 벡터를 쓸 공간을 남기고, 두 이동을 각각 적은 뒤 벡터의 덧셈 결과를 반드시 표시한다.
조건을 바꾼 문항에서 풀이 행동 확인하기
연습 문제의 도형을 그대로 반복하지 않고, 다음 문항을 제시한다.
점 Q(-2,3)를 평행이동 (4,1)만큼 옮긴 뒤 (-1,-3)만큼 옮긴다. 단, 이동한 도형의 한 변의 길이와 한 각의 크기는 원래 도형과 같다.
이때 합성 벡터는
(4,1)+(-1,-3)=(3,-2)
이므로 최종점은 Q″(1,1)이다. 길이와 각 조건은 평행이동으로 보존되는 성질을 확인하게 하지만, 합성 벡터를 구하는 계산 자체를 바꾸지는 않는다.
문항 체류시간 동안 바로 답을 찾지 않고, 막힌 경우 표시한 뒤 해결 가능한 뒤 문항으로 이동하는지도 함께 본다. 이후 답지를 확인하기 전에 다시 돌아와 (4,1)+(-1,-3)을 직접 시도하고, 합성 이동을 답안에 적었는지 기록하면 계산 결과뿐 아니라 풀이 절차가 새로운 조건에서도 유지되는지 확인할 수 있다.