송파구고2수학과외, 로그방정식의 실근 개수는 정의역과 그래프로 판단한다
통학과 과제 시간이 함께 늘어나는 고2 시기에는 풀이 흔적을 짧게 남기려다 조건을 빠뜨리는 일이 생긴다. 송파구의 가락동·거여동·문정동·방이동 등에서 학교 프린트와 지필평가를 병행하는 학생에게 특히 필요한 것은 계산 속도보다 답안에 판단 근거를 남기는 습관이다.
log2x=x−1에서 사라진 정의역
학생의 풀이에는 다음과 같은 문장이 남아 있었다.
“log2x와 x−1의 식 모양을 비교하면 실근은 x=2 하나이다.”
하지만 이 식에서 가장 먼저 적어야 할 것은 x>0이다. 로그의 밑은 2이므로 밑 조건은 이미 충족되지만, 진수 x가 양수여야 로그가 정의된다. 따라서 그래프를 그릴 때도 x≤0인 구간은 비교 대상이 아니다.
교점의 개수는 대입 한 번으로 결정되지 않는다
두 함수의 차를 다음처럼 둔다.
f(x)=log2x−(x−1)=log2x−x+1, x>0
학생이 찾은 x=2는 실제 해이다.
log22=1, 2−1=1
그러나 x=2만 대입해서 실근 개수를 정할 수는 없다. 함수값을 확인하면
f(1)=1−1+1=1>0,
f(2)=1−2+1=0,
f(4)=2−4+1=−1<0
이고, x가 0의 오른쪽에서 0에 가까워질 때 log2x는 음의 무한대로 가므로 f(x)도 음수가 된다. 따라서 (0, 1)에서 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 교점이 하나 있고, x=2에서도 교점이 있다.
또한
f′(x)=1/(x ln 2)−1
이므로 f′(x)=0인 지점은 x=1/ln2이고, f(x)는 그 지점까지 증가한 뒤 감소한다. 즉 그래프는 정의역 x>0에서 한 번 올라갔다가 내려오므로, 앞의 부호 변화와 함께 실근이 정확히 2개임을 확인할 수 있다. 하나는 0과 1 사이에 있고, 다른 하나는 x=2이다.
숫자 하나를 바꾼 미니문제로 조건을 다시 적기
수정 훈련에서는 원래 식을 반복하지 않고 밑의 숫자만 바꾼다.
log1/2x=x−1
답안 첫 줄에 반드시 x>0을 적은 뒤, 밑이 0과 1 사이이므로 로그함수는 감소함을 표시한다. 차의 함수는
g(x)=log1/2x−x+1
이고
g′(x)=−1/(x ln2)−1<0
이다. 따라서 g는 x>0에서 계속 감소한다. g(1)=0이므로 실근은 x=1 하나뿐이다. 진수 조건을 여백에만 두지 않고 식 바로 아래에 정의역: x>0으로 남기는 것이 이번 훈련의 기준이다.
부호가 바뀌어도 같은 판단을 유지하는지 확인
마지막으로 다음 문제를 풀이한다.
log1/2x=x−2
먼저 x>0을 쓰고
h(x)=log1/2x−x+2
로 둔다. h′(x)<0이므로 h는 감소한다. h(1)=1>0, h(2)=−1<0이므로 (1, 2) 사이에 정확히 한 실근이 존재한다. 해를 억지로 계산하지 않고 정의역, 함수의 증가·감소, 양끝의 부호를 순서대로 기록했다면 밑이 바뀐 문제에서도 실근 개수를 올바르게 판별한 것이다.