송파구고1수학과외, 해 후보를 원식 대입으로 걸러내는 연습
잠실여자고등학교, 영동일고등학교 등 송파구의 고등학교에서 중학교보다 과제와 시험 풀이량이 늘어나면, 학생은 계산을 빠르게 끝내는 데 집중하기 쉽다. 가락동이나 문정동에서 귀가한 뒤 짧은 시간에 문제를 풀 때 특히 자주 나타나는 오류가 있다. 방정식 변형으로 얻은 값을 모두 정답으로 적고, 원래 식을 다시 확인하지 않는 것이다.
제곱한 뒤 생긴 두 후보를 모두 해로 적은 경우
다음 방정식을 살펴보자.
√(x+1) = x-1
양변을 제곱하면
x+1 = (x-1)²
이므로
x+1 = x²-2x+1, x²-3x=0, x(x-3)=0
에서 x=0 또는 x=3이라는 해 후보를 얻는다. 이때 두 값은 제곱한 식을 만족하는 후보일 뿐, 처음 주어진 식의 해라고 바로 확정할 수는 없다.
실제 답안에서는 x=0, 3을 구한 뒤 다음 계산으로 넘어가며 원식 대입 흔적을 남기지 않았다. 그러나 x=0을 원식에 넣으면
√(0+1) = 0-1 → 1=-1
이 되어 성립하지 않는다. 반면 x=3은
√(3+1) = 3-1 → 2=2
이므로 조건을 만족한다. 따라서 최종 해는 x=3이다.
계산 결과와 원래 조건을 만족하는 값은 다를 수 있다
이 문제에서 제곱은 식을 변형하는 과정이다. 양변을 제곱하면 음수인 우변도 제곱 과정에서는 양수처럼 처리될 수 있으므로, 원래 식에 없던 값이 후보로 들어올 수 있다. 실제로 x=0에서는 우변 x-1이 -1인데 좌변 √(x+1)은 음수가 될 수 없다는 점도 확인할 수 있다.
따라서 풀이의 연결은 다음과 같아야 한다.
- 구할 대상: 방정식을 만족하는 x
- 주어진 조건: √(x+1)=x-1
- 변형으로 얻은 값: x=0, 3
- 최종 판단: 두 후보를 원식에 각각 대입
답안에 남겨야 하는 짧은 근거
학생에게 후보를 찾은 직후 “이 값들이 처음 식에서도 성립하는가?”를 말하게 했다. 이후 답안에 다음처럼 적도록 했다.
x=0은 원식에서 1=-1이므로 제외한다. x=3은 2=2이므로 해이다.
이 한 줄은 계산을 반복하는 표시가 아니라, 후보와 최종 해를 구분했다는 근거다. 값이 여러 개 나왔을 때 곧바로 답란에 옮기지 않고, 구해야 할 대상과 원래 조건을 다시 연결하는 행동이 드러난다.
수행평가 자료를 지필형 문제로 바꾸어 확인하기
도형의 넓이나 길이를 구하는 자료에서도 같은 판단을 적용할 수 있다. 예를 들어 직사각형의 가로를 xcm, 세로를 x-2cm로 두고 넓이가 48cm²라고 하면
x(x-2)=48
에서
x²-2x-48=0, (x-8)(x+6)=0
이므로 x=8 또는 x=-6이 나온다. 하지만 가로 길이 x는 양수여야 한다. x=8을 조건에 대입하면 세로는 6cm이고 넓이는 48cm²가 된다. x=-6은 길이 조건을 만족하지 않으므로 제거한다.
이때도 숫자를 먼저 계산하는 대신, 구할 도형 요소가 무엇인지와 길이 조건이 무엇인지 연결해야 한다. 즉 x는 가로 길이이므로 x>0, x-2는 세로 길이이므로 x-2>0이라는 조건을 함께 확인한다.
새 숫자에서도 같은 순서를 유지하는지
마지막으로 직사각형의 넓이가 72cm²이고 세로가 가로보다 1cm 짧은 문제를 제시했다. 가로를 xcm로 두면
x(x-1)=72
이므로
x²-x-72=0, (x-9)(x+8)=0
에서 후보는 x=9, -8이다. 학생이 x가 길이라는 조건을 먼저 확인하고, x=9를 원래 넓이식에 대입하여 9×8=72임을 설명하면 풀이 순서가 유지된 것이다. -8은 길이가 될 수 없으므로 제외한다.
같은 문제를 다시 맞히는 데 그치지 않고, 방정식 문제와 도형 조건 문제에서 모두 후보를 만든 뒤 원래 조건으로 확인하는지 살핀다. 새 숫자에서도 이 순서를 스스로 유지할 때 해를 끝까지 남기는 오류가 줄어든다.