송파구 고3수학과외, 최대 부피에서 변수 관계부터 정리하기
가락동·거여동·문정동·방이동 등 송파구의 여러 생활권에서는 통학과 과제 시간이 함께 늘어나면서, 한 문제를 오래 붙들기보다 풀이의 첫 조건을 정확히 정리하는 연습이 중요하다. 잠실여자고등학교, 영동일고등학교, 오금고등학교 등 송파구의 일반고 학생 사례에서도 최대·최소 문제는 계산보다 변수 사이의 관계를 놓치지 않는 것이 핵심이었다.
처음 답안에서 빠진 변수 관계
밑면의 반지름이 6, 높이가 12인 원뿔 안에 원기둥을 넣어 부피를 최대로 하는 문제에서 학생은 원기둥의 반지름을 r, 높이를 h로 두었다. 그러나 원뿔의 닮음 관계를 먼저 정리하지 않고 다음처럼 작성했다.
오답: V=πr²h, 0<r<6, 0<h<12이므로 r과 h를 각각 변화시켜 V를 계산한다.
이 식 자체는 원기둥의 부피식이지만, 원뿔 안에 들어간다는 조건을 반영하지 않아 잘못된 풀이이다. 원뿔의 꼭짓점에서 밑면까지의 높이가 12이고 반지름이 6이므로, 높이 h인 위치에서의 반지름은 닮음에 의해
r/ h = 6/12, 따라서 r=h/2
가 된다. r과 h를 독립적으로 바꿀 수 없다는 점을 놓친 것이 오답의 원인이다.
조건을 하나의 변수로 줄인 수정 과정
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 먼저 도형의 위치와 길이의 기준을 다시 확인했다. 원기둥의 높이는 0<h<12이고, 반지름은 r=h/2이므로 부피를 h 하나의 함수로 바꾼다.
V(h)=π(h/2)²(12-h)=πh²(12-h)/4
이를 미분하면
V′(h)=π/4(24h-3h²)=3πh(8-h)/4
범위 안의 임계값은 h=8이다. 0<h<8에서 V′(h)>0, 8<h<12에서 V′(h)<0이므로 부피는 h=8에서 최대이다. 이때
r=4, V=π·4²·8=128π
이다. 학생은 원래 식에 r=4, h=8을 대입해 실제 부피가 128π인지 확인하고, 양 끝에 가까운 h=1, h=11에서의 값보다 큰지도 비교했다. 또한 h가 12에 가까워지면 밑면 반지름이 6에 가까워지지만 원기둥 높이가 0에 가까워져 부피가 다시 작아지는 그래프의 형태도 확인했다.
계수를 바꾼 독립 검증
같은 절차를 반복하지 않기 위해 원뿔의 높이를 15, 밑면 반지름을 5로 바꾸었다. 원기둥의 높이를 x, 반지름을 y라 하면 닮음 관계는
y/x=5/15=1/3, 즉 y=x/3
이다. 따라서
W(x)=π(x/3)²(15-x)=πx²(15-x)/9, 0<x<15
이고
W′(x)=π/9(30x-3x²)=πx(10-x)/3
이므로 x=10에서 최대가 된다. 반지름은 y=10/3이며 최대 부피는
W(10)=π·(10/3)²·5=500π/9
이다. 계수와 범위가 달라져도 먼저 닮음으로 변수를 하나로 줄이고, 정의역을 확인한 뒤 미분과 대입 검산까지 이어가는 절차를 유지해야 한다.