잠실동고2수학과외

잠실동고2수학과외에서 부등호가 뒤집히는 계산 줄 찾기

잠실동의 영동일고등학교, 정신여자고등학교, 잠신고등학교, 잠일고등학교처럼 통학 거리와 귀가 시간이 서로 다른 환경에서는 짧은 풀이에서도 어떤 판단을 먼저 기록했는지가 중요하다. 특히 로그부등식은 계산보다 밑의 증가·감소 여부를 놓치는 순간 답 전체가 바뀐다.

log_1/2x > log_1/23에서 틀린 줄

풀이에는 다음과 같이 적혀 있었다.

log_(1/2)x > log_(1/2)3
x > 3

여기서 처음 잘못된 줄은 두 번째 줄이다. 밑 1/2는 0보다 크고 1보다 작으므로 로그함수는 감소한다. 따라서 로그값의 대소관계와 진수의 대소관계가 반대로 바뀐다.

또한 로그의 진수 조건으로 x>0을 먼저 만족해야 한다. 따라서 정확한 풀이는

0 < 1/2 < 1
log_(1/2)x > log_(1/2)3
x < 3
x > 0
∴ 0 < x < 3

밑이 2였다면 증가함수이므로 x>3이 맞지만, 밑이 1/2인 순간 방향이 바뀐다. 재풀이에서도 이 판단 줄을 표시하지 않으면 계수나 숫자가 달라진 문제에서 같은 오류가 반복된다.

역으로 적용해 부등호 방향 확인하기

부등호를 뒤집은 이유가 실제 식과 맞는지 확인하려면 양변에 밑 ^1/2을 역으로 적용한다. 로그함수가 감소하므로

log_(1/2)x > log_(1/2)3
⟺ x < 3

만약 x>3이라고 주장하면, 예를 들어 x=4를 대입했을 때 log_1/24=-2이고 log_1/23은 약 -1.585이므로 -2>-1.585가 되어 거짓이다. 역변환과 수치 대입이 모두 x<3을 확인한다.

부분 풀이에서 첫 오류를 찾아내는 검증

다음 풀이에서 부등호가 처음 잘못된 줄을 표시해 보게 한다.

log_(1/3)(x+2) ≤ log_(1/3)5
x+2 ≥ 5
x ≥ 3

밑 1/3은 0과 1 사이이므로 첫 줄에서 두 번째 줄로 넘어갈 때 방향이 뒤집힌 것은 옳다. 진수 조건 x+2>0, 즉 x>-2도 확인해야 하며, 최종 답은 x≥3이다. 학생이 이처럼 “밑이 1보다 작은 로그이므로 방향 반전”을 해당 계산 줄 옆에 직접 적고, 역변환으로 원래 부등식을 복원한다면 새로운 진수와 수에서도 같은 판단을 이어 갈 수 있다.