잠실동고3수학과외

안쪽 미분 계수를 놓친 지수함수 적분 점검

오답식: 학생은 ∫e^2x-1dx = e^2x-1+C라고 적었다. 이 식은 틀렸다. 지수의 안쪽 함수 2x-1을 미분하면 2가 나오므로, 원래 함수로 돌아가려면 그 역수인 1/2을 곱해야 한다.

실제 풀이에서는 맞게 시작한 식까지 지우지 않고 다음처럼 좌우에 나란히 남겼다.

• 맞는 중간식: u=2x-1, du=2dx, dx=du/2
• 틀린 중간식: ∫e^2x-1dx = e^2x-1+C

한 줄만 수정해 다시 계산하기

u=2x-1로 치환하면

∫e^2x-1dx = ∫e^u · du/2 = 1/2e^u+C = 1/2e^2x-1+C

초기조건이 F(1)=3이라면

F(x)=1/2e^2x-1+C에서 3=1/2e+C이므로 C=3-e/2이다. 따라서

F(x)=1/2e^2x-1+3-e/2

학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 지수의 안쪽 식과 그 미분계수를 먼저 확인하고 식을 고쳤다. 마지막으로 미분하여 F′(x)=e^2x-1인지 확인하고, x=1을 대입해 F(1)=3이 되는지도 역검산했다.

부정적분에서는 지수함수의 모양만 보고 적분하지 않고, 안쪽 함수의 미분계수까지 함께 보정해야 한다.

조건을 바꾼 독립 검증

새 문제로 G′(x)=3e^3x+2, G(0)=5를 검증했다. 치환하면 u=3x+2, du=3dx이므로

G(x)=∫3e^3x+2dx=e^3x+2+C

G(0)=e²+C=5에서 C=5-e²이다. 따라서 G(x)=e^3x+2+5-e²이고, 미분하면 조건의 도함수로 돌아간다.

잠실동의 학생은 영동일고등학교, 정신여자고등학교, 잠신고등학교, 잠일고등학교 등 학교와 주거지 사이 이동 시간에 따라 복습 가능한 시간이 달라질 수 있다. 그래서 긴 오답 정리보다 통학 전후에 ‘안쪽 식 미분→계수 보정→초기조건 대입’ 세 단계를 짧게 확인하는 방식으로 자기점검을 분리했다. 잠실여자고등학교는 같은 송파구 내 참고 학교로만 구분해 생활권을 살폈다.