잠실동고1수학과외, 절댓값을 거리 범위로 바꾸는 두 갈래 판단
잠실동의 학교 내신을 준비할 때 절댓값 부등식은 계산보다 먼저 ‘어떤 점에서 얼마나 떨어져 있는가’를 읽어야 한다. 예를 들어 |2x-3|<5는 2x-3이 0에서 5보다 가까운 범위라는 뜻이므로 한 방향의 부등식만 푸는 문제가 아니다.
한쪽 부등식만 남긴 오답
관찰된 풀이에서는 절댓값을 보자마자 다음처럼 한 줄만 계산했다.
|2x-3|<5
2x-3<5
x<4
이 식은 절댓값 안의 값이 양수인 경우에 해당하는 조건만 반영한다. 절댓값 안의 값이 음수일 때도 절댓값은 양수가 되므로 반대 방향의 경우를 빠뜨리면 해의 왼쪽 경계가 사라진다.
절댓값 안의 식을 t=2x-3이라고 두면 |t|<5는 거리 조건에 따라 -5<t<5가 된다. 따라서
-5<2x-3<5
-2<2x<8
-1<x<4
정답은 -1<x<4이다. 수직선에서 2x-3이 0으로부터 5보다 가까운 구간을 찾는 과정이므로 x의 범위도 양쪽 경계를 모두 가져야 한다.
부호를 나누어 직접 확인하는 방식
같은 문제를 절댓값 안의 부호로 나누면 누락 여부를 확인하기 쉽다.
- 2x-3≥0인 경우: 2x-3<5이므로 x<4, 동시에 x≥3/2이다.
- 2x-3<0인 경우: -(2x-3)<5이므로 -2x+3<5, 즉 x>-1이고 동시에 x<3/2이다.
두 경우를 합치면 -1<x<4가 된다. 풀이 중간에 ‘양수일 때’와 ‘음수일 때’를 각각 적으면 반대 부호의 절댓값 식을 생략하는 습관을 줄일 수 있다.
답안에 남겨야 할 수학적 근거
절댓값 부등식을 범위로 해석했다면 답만 쓰지 말고 변환 근거를 남긴다. |ax+b|<c에서 c가 양수일 때는 -c<ax+b<c로 바뀐다. 반대로 |ax+b|>c라면 ax+b<-c 또는 ax+b>c로 나뉜다.
예를 들어 |3x+2|≥7은
3x+2≤-7 또는 3x+2≥7
x≤-3 또는 x≥5/3
이다. ‘≥’를 한쪽 식으로만 바꾸면 두 구간 중 하나를 잃게 되므로, 부등호의 방향과 경우의 수를 함께 기록해야 한다.
잠실동 생활 리듬에 맞춘 확인 장면
영동일고등학교, 정신여자고등학교, 잠신고등학교, 잠일고등학교처럼 잠실동 안의 학교라도 귀가 거리와 주거지 위치에 따라 확보되는 시간이 다르다. 잠실5단지 인근에서 짧게 문제를 푸는 날에는 한 문항에 지나치게 오래 머물지 않도록 풀이의 핵심 줄을 먼저 적고, 막히면 표시한 뒤 다음 문항으로 이동한다.
확인용 문제에는 풀이와 관계없는 숫자를 하나 넣는다.
어떤 수 x가 0에서 6보다 멀지 않고, 교실 번호는 214번일 때 x의 범위를 구하여라.
|x|≤6
교실 번호 214는 절댓값 조건과 무관하므로 사용하지 않는다. 학생이 -6≤x≤6을 두 경우 또는 거리 조건으로 정확히 만들고, 불필요한 숫자에 매달리지 않은 채 제한 시간 뒤 해결 가능한 문항으로 넘어가는지 본다.
피곤한 날의 마지막 점검
체류시간 안에 해결되지 않는 절댓값 문제는 식 옆에 물음표를 표시하고 다음 문제로 이동한다. 이후 답을 확인할 때는 정답만 베끼지 않고, 절댓값 안의 부호를 두 경우로 나누었는지, 또는 거리 조건을 양쪽 경계로 바꾸었는지를 점검한다. 피곤한 날에는 새 문제를 많이 늘리기보다 이 변환식과 수직선 표시처럼 판단이 분명한 학습으로 조정한다.