오금동고2수학과외

오금동고2수학과외, 로그부등식에서 밑을 먼저 판별하는 풀이

오금역과 오금동삼성아파트 생활권에서 학교 프린트와 지필평가 범위를 함께 정리할 때, 로그부등식은 계산 속도보다 밑의 범위와 함수의 증가·감소를 먼저 판단하는 습관이 중요하다. 오금동의 오금고등학교와 보인고등학교를 비롯해 송파구 내 학교의 시험 준비에서도 이 판단이 빠지면 계산이 맞아 보여도 해의 방향이 틀릴 수 있다.

log_1/2x > log_1/23에서 뒤집혀야 하는 부등호

풀이 중 오답표에 다음과 같이 적혀 있었다.

log_1/2x > log_1/23 이므로 x > 3

이 식에서 빠진 판단은 밑의 범위이다. 로그의 밑은 0보다 크고 1이 아니어야 하며, 진수도 양수여야 한다.

밑 조건: 0 < 1/2 < 1
진수 조건: x > 0

밑이 0과 1 사이인 로그함수는 감소함수다. 따라서 입력값의 대소관계와 로그값의 대소관계가 반대로 된다.

log_1/2x > log_1/23
⇔ x < 3

여기에 진수 조건 x > 0을 함께 적용하면 해는

0 < x < 3

이다. 단순히 x < 3만 적으면 로그의 정의역 밖인 x≤0을 걸러내지 못한다.

계산 전에 답안에 남길 한 문장

이 학생에게는 정답을 지우고 처음부터 다시 푸는 방식보다, 오류가 발생한 단계만 표시하는 훈련이 적절하다. 기존 오답 옆에 다음 문장을 먼저 적는다.

“밑 1/2는 0과 1 사이이므로 로그함수가 감소하여 부등호 방향이 바뀐다.”

그다음 밑과 진수 조건을 따로 쓴 뒤,

0 < 1/2 < 1,   x > 0
log_1/2x > log_1/23 ⇔ x < 3

처럼 방향 변화와 정의조건을 한 줄씩 남긴다. 결과 계산을 먼저 하던 풀이 순서가 조건 판별 → 부등호 방향 결정 → 해의 범위 확인으로 바뀌었는지 답안에서 확인할 수 있다.

문자 밑으로 바꾸어도 같은 판단이 유지되는가

수치를 바꾼 문제보다 밑을 문자로 바꾼 문제에서 이 원칙이 유지되는지 확인한다.

단, 0 < a < 1, b > 0이라 하자. 그러면 log_ax와 log_ab는 감소함수의 값이므로

log_ax > log_ab
⇔ x < b

로그의 진수 조건 x>0도 함께 필요하므로 최종 범위는

0 < x < b

이다. 반대로 a>1이면 로그함수가 증가하므로 같은 부등식은 x>b가 된다. 따라서 새로운 문제에서도 밑이 1보다 큰지 작은지를 먼저 말하고, 마지막에 진수의 양수 조건을 결합해야 한다.