오금동 고3 수학과외에서 확인한 지수함수 부정적분의 계수 처리
오금동에서 평일 귀가 시간과 학교별 시험 범위를 함께 조정하던 고3 학생은 오금고등학교와 보인고등학교의 학습 일정에 맞춰 지수함수 부정적분을 복습했다. 같은 송파구의 잠실여자고등학교, 영동일고등학교, 덕수고등학교는 참고 가능한 생활권 학교이지만 오금동 소재 학교와는 구분해 계획을 세웠다.
안쪽 함수의 변화율을 놓친 첫 풀이
학생은 다음 적분에서 안쪽 지수함수만 보고 원시함수를 정했다.
문제: \(x\)가 실수일 때 \(\displaystyle \int e^{2x+3}\,dx\)를 구하여라.
학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.
\(\displaystyle \int e^{2x+3}\,dx=e^{2x+3}+C\)
이 식은 틀린 오답이다. \(e^{2x+3}\)을 미분하면 안쪽 함수 \(2x+3\)의 미분값 2가 곱해져
\[ \frac{d}{dx}e^{2x+3}=2e^{2x+3} \]
이 되기 때문이다. 따라서 원래 함수로 돌아가려면 2를 나누어야 한다.
\[ \int e^{2x+3}\,dx=\frac12e^{2x+3}+C \]
식의 구조를 나누어 고친 과정
- 틀린 줄 표시: \(\int e^{2x+3}dx=e^{2x+3}+C\)
- 조건과 변수 관계 확인: 안쪽 함수 \(g(x)=2x+3\), 변화율 \(g'(x)=2\)
- 식 수정: \(\displaystyle \int e^{g(x)}g'(x)\,dx=e^{g(x)}+C\)에 맞추어 \(\displaystyle \frac{1}{g'(x)}\)를 반영
- 역검산: \(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac12e^{2x+3}+C\right)=\frac12\cdot2e^{2x+3}=e^{2x+3}\)
이 과정을 통해 학생은 지수의 모양만 복사하는 것이 아니라, 안쪽 변수의 변화율까지 원시함수에 반영해야 한다는 점을 확인했다. 일반적으로 \(a\ne0\)이고 \(x\)가 실수이면
\[ \int e^{ax+b}\,dx=\frac1a e^{ax+b}+C \]
이며, 지수함수 \(e^{ax+b}\)는 모든 실수 \(x\)에서 정의된다. 적분상수 \(C\)는 서로 다른 원시함수의 차이를 나타내므로 반드시 포함한다.
계수를 바꾼 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않고 계수와 상수항을 바꾸어 다음 문제를 제시했다.
검증 문제: \(\displaystyle \int e^{5x-1}\,dx\)를 구하여라.
이번에는 안쪽 함수 \(5x-1\)의 미분값이 5이므로
\[ \int e^{5x-1}\,dx=\frac15e^{5x-1}+C \]
이다. 실제로 역검산하면
\[ \frac{d}{dx}\left(\frac15e^{5x-1}+C\right) =\frac15\cdot5e^{5x-1} =e^{5x-1} \]
이 된다. 학생은 처음의 \(1/2\) 누락을 새로운 계수 \(5\)에도 적용해 수정하면서, 지수함수 부정적분에서 안쪽 미분 계수를 먼저 확인하는 풀이 습관을 완성했다.