오금동고1수학과외, 부등식이 모든 실수인지 해가 없는지 판별하는 기준
오금고등학교와 보인고등학교의 학교 프린트, 교과서 진도, 수행평가 일정이 겹치는 시기에는 풀이 속도를 높이려다 부등식의 마지막 판단을 생략하기 쉽다. 오금역과 오금동삼성아파트 생활권에서 귀가 후 짧은 시간에 문제를 풀더라도, 계산 결과가 어떤 해의 범위를 뜻하는지 확인하는 과정은 남겨야 한다.
계산이 끝난 뒤 비교식이 무엇을 뜻하는가
예를 들어 다음 부등식을 보자.
3(2x−1) < 6x+4
왼쪽을 전개하면 6x−3<6x+4이고, 양변에서 6x를 없애면 −3<4가 된다. 이는 x에 관한 조건이 아니라 항상 참인 수의 비교다. 따라서 처음 부등식을 만족하는 x에는 제한이 없으며 해는 모든 실수이다.
반대로
2(x+3)≤2x−5
를 정리하면 2x+6≤2x−5, 즉 6≤−5가 된다. 이 명제는 항상 거짓이므로 만족하는 x가 하나도 없다. 이때 해는 없다.
답안에서 빠진 한 줄이 오답을 만든 장면
수업 중 확인한 답안에는 식을 전개한 뒤 바로 다음 계산줄로 넘어간 흔적이 있었다. 학생은 ‘부등식의 해가 없는 경우와 모든 실수인 경우 구별’이라는 표시를 하지 않았고, 마지막에 남은 식이 x를 포함하는지 또는 참·거짓이 고정되는지 적지 않았다.
예컨대 4(x−2)>4x+1을 풀면서 4x−8>4x+1에서 −8>1까지 정리한 뒤, 이를 x에 대한 범위처럼 처리하면 안 된다. −8>1은 거짓이므로 해가 없다. x가 사라진 순간에는 계산을 더 이어 가는 것이 아니라 비교식의 참·거짓을 판정해야 한다.
누락된 위치에서 다시 쓰는 풀이
오답을 고칠 때는 처음부터 문제 전체를 베껴 쓰지 않고, x가 소거된 줄에 표시를 남긴다.
- 5( x+1 )≥5x+5
- 5x+5≥5x+5
- 0≥0
- 항상 참이므로 해는 모든 실수
이번에는 0≥0이 모든 x에 대해 성립한다는 점을 문장으로 덧붙인다. 반대로 7(x−1)<7x−10은 7x−7<7x−10에서 −7<−10이 되어 거짓이므로 해가 없다. ‘x가 없어졌다’는 사실만으로 두 경우를 같은 답으로 쓰지 않고, 남은 수의 부등호가 참인지 거짓인지 확인해야 한다.
조건을 바꾼 문장제에서 다시 확인하기
새 문제에서는 정육면체의 여섯 면에 수를 배치한다고 하자. 마주 보는 두 면의 수의 합이 9이고, 이웃한 면의 수를 비교하는 조건에서 어떤 값 x가
2(x+4)≤2x+8
을 만족한다고 주어졌다. 정리하면 2x+8≤2x+8, 즉 0≤0이므로 이 부등식만으로는 x를 제한할 수 없다. 따라서 가능한 x는 모든 실수이며, 실제 면의 배치는 마주 보는 면과 이웃한 면의 관계를 추가로 추적해야 한다.
조건을 바꾸어 같은 배치에서 마주 보는 면의 합을 9가 아니라 7로 정하고 부등식이 2(x+4)≤2x+5가 되면 8≤5라는 거짓 명제가 남는다. 이 경우에는 가능한 x가 없다. 새로운 전개 순서에서도 학생이 x가 사라진 줄을 찾고, 남은 비교식의 참·거짓과 마주 보는 면·이웃한 면의 조건을 각각 확인하는지로 학습 상태를 판단한다.