신천동고2수학과외: 로그부등식에서 진수 조건을 끝까지 확인하는 풀이
잠실고등학교의 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려하면 로그부등식은 짧은 문제라도 풀이 첫 줄을 정확히 남기는 연습이 필요하다. 신천동 내 확인 학교는 잠실고등학교이며, 잠실여자고등학교·영동일고등학교·덕수고등학교·보성고등학교는 같은 송파구의 참고 학교로 구분된다.
x>4를 생략한 풀이가 왜 위험한가
문제는 다음과 같다.
log₂(x-4) > 1
풀이 과정에서 학생은 첫 줄에 진수 조건을 쓰지 않고 곧바로
x-4 > 2¹, 따라서 x > 6
이라고 적었다. 이 문제에서는 최종 해가 x>6이므로 결과 자체는 맞다. 그러나 로그가 정의되려면 반드시
x-4 > 0, 즉 x > 4
를 먼저 확인해야 한다. 진수가 양수라는 조건 없이 지수형 부등식으로 바꾸면, 이후 계수나 부호가 달라졌을 때 허용되지 않는 구간을 해에 포함할 수 있다. 정답을 지우기 전에 학생은 “진수 조건을 먼저 확인하지 않아 로그의 정의역 검토가 빠졌다”라고 오류 원인을 한 문장으로 적고, 풀이 첫 줄에 x>4를 추가한다.
진수의 부호가 바뀌면 해의 방향도 다시 세운다
다음 문제에서는 진수가 양수가 아니라 음의 계수를 포함한다.
log1/2(3-x) ≥ -1
먼저 로그의 조건부터 적는다.
3-x > 0이므로 x<3
밑 1/2는 0과 1 사이이므로 로그함수는 감소한다. 따라서
3-x ≤ (1/2)-1 = 2
가 되고, 이를 풀면 x≥1이다. 진수 조건과 결합하면 최종 해는
1≤x<3
이다. 여기서 x=3은 부등식 계산만 보면 경계처럼 보일 수 있지만 진수 3-x가 0이 되어 로그가 정의되지 않으므로 포함하지 않는다. 반대로 x=1에서는 진수가 2이고 로그값이 -1이므로 등호가 허용된다.
조건을 적은 뒤 구간을 교집합으로 묶기
훈련 답안에는 다음 세 줄을 고정하지 않고, 문제의 부호에 맞춰 직접 작성한다.
3-x>0 → x<3- 밑이
0<1/2<1이므로 부등호 방향을 바꾼다. 3-x≤2 → x≥1, 따라서1≤x<3
이 과정을 통해 진수 조건을 단순히 적는 데 그치지 않고, 계산으로 얻은 범위와 실제 로그의 정의역을 마지막에 교집합으로 확인한다.
양수 진수에서 음수 계수 진수로 바꾼 확인 문제
마지막으로 다음 문항을 풀이한다.
log3(5-2x) > 0
먼저 5-2x>0에서 x<5/2를 적는다. 밑이 3이므로 증가함수이고,
5-2x > 3⁰ = 1
이다. 따라서 -2x>-4, 즉 x<2이다. 계산 결과 x<2는 이미 진수 조건 x<5/2을 만족하므로 최종 답은 x<2이다.
이때 x=2에서는 로그값이 0이므로 엄격한 부등식에 포함되지 않는다. 새로운 계수와 음의 일차식이 주어져도 진수 조건, 밑에 따른 방향, 경계값의 포함 여부를 순서대로 적었는지를 풀이에서 확인한다.