신천동 고3 수학과외에서 확인한 부정적분의 상수 판단
신천동의 잠실고등학교 학생은 학교 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 조정하며 적분 단원을 복습하고 있었다. 같은 송파구의 잠실여자고등학교·영동일고등학교·덕수고등학교·보성고등학교는 참고 학교로만 구분하고, 학생의 실제 학습 계획은 잠실고등학교 일정에 맞추었다.
초기조건이 없는데도 하나의 답을 고른 이유
학생은 다음 부정적분에서 상수를 임의로 정했다.
∫(3x2−4x+1)dx
풀이에는 다음과 같이 적혀 있었다.
∫(3x2−4x+1)dx = x3−2x2+x
이 식은 하나의 원시함수일 뿐 정답 전체가 아니다. 미분하면
(x3−2x2+x)'=3x2−4x+1
이므로 계산 자체는 맞지만, 초기조건이 주어지지 않았기 때문에 상수항을 정할 근거가 없다. 정확한 답은
∫(3x2−4x+1)dx=x3−2x2+x+C
이다. 학생이 그린 그래프도 이전 문제의 그래프 모양을 그대로 옮겼는데, 부정적분의 그래프는 C의 값에 따라 위아래로 평행이동한다. 따라서 식의 구조와 그래프의 관계를 먼저 확인해야 했다.
오답 줄을 표시하고 식을 다시 세운 과정
- 틀린 줄 표시: C=0으로 둔 부분에 밑줄을 긋는다.
- 조건 확인: 문제에 F(0)=2 또는 F(1)=−1과 같은 초기조건이 있는지 확인한다.
- 식 수정: 조건이 없으므로 F(x)=x3−2x2+x+C로 둔다.
- 검산: 양변을 미분해 원래 피적분함수와 같은지 확인한다.
만약 F(1)=3이라는 조건이 있었다면
1−2+1+C=3
에서 C=3이므로 F(x)=x3−2x2+x+3이다. 반대로 조건이 없으면 C를 남겨 두어야 하며, C=0으로 확정하는 것은 잘못이다. 학생은 수정한 식을 미분한 뒤 x=0과 x=1을 직접 대입해 조건 적용 여부까지 확인했다.
초기조건의 위치를 바꾼 독립 검증
다음 문제에서는 함수식과 초기조건을 바꾸었다.
F'(x)=4x3−6x+2, F(−1)=5
먼저 부정적분을 계산하면
F(x)=x4−3x2+2x+C
이고, 초기조건을 대입하면
F(−1)=1−3−2+C=5
이므로 C=9이다. 따라서
F(x)=x4−3x2+2x+9
이다. 실제로 미분하면 4x3−6x+2가 되고, x=−1을 대입하면 5가 된다. 이번에는 조건의 위치가 0이 아닌 −1로 바뀌었지만, 학생은 처음부터 C를 남겨 두고 조건을 적용했다. 초기조건이 없는 문제라면 같은 절차에서 마지막 조건 대입만 생략하고 C를 포함한 형태로 답해야 한다.