신천동고1수학과외, 연립부등식의 겹치는 해만 남기기
잠실고등학교 학교 프린트에서 연립부등식을 푼 풀이를 살펴보니 다음과 같은 답안이 보였다.
2x-3>5, -x+7≥1
x>4, x≤6
따라서 x≤6
첫 번째 부등식은 x>4, 두 번째 부등식은 x≤6이 맞지만, 연립부등식의 답은 두 조건을 동시에 만족해야 한다. 따라서 해는 4<x≤6이며, 구간으로는 (4, 6]이다.
수직선 없이 범위를 합쳐 버린 이유
이 학생은 두 부등식을 각각 계산하지 못한 것이 아니라, 계산한 결과를 하나의 넓은 범위처럼 합쳤다. 수직선에 x>4를 표시하면 4보다 오른쪽, x≤6을 표시하면 6을 포함한 왼쪽이다. 두 조건을 동시에 만족하는 부분은 두 표시가 겹치는 구간뿐이다.
반대로 합집합처럼 생각하면 x≤6이 되어 4 이하의 수까지 포함된다. 예를 들어 x=1은 x≤6은 만족하지만 x>4를 만족하지 않으므로 연립부등식의 해가 될 수 없다.
두 해를 따로 표시한 뒤 교집합을 읽는 풀이
풀이의 첫 줄에 연립부등식에서 두 해의 공통범위만 남긴다는 판단을 적고, 각 조건을 분리해 표시한다.
- 2x-3>5에서 2x>8이므로 x>4
- -x+7≥1에서 -x≥-6이므로 x≤6
두 번째 식은 음의 수 -1을 곱해 부등호 방향이 바뀐다. 이제 수직선에서 4는 열린 점, 6은 닫힌 점으로 나타내고 그 사이만 남긴다. 최종 답은 4<x≤6이다.
이때 답을 적은 뒤 x=5와 x=6을 대입해 경계를 확인할 수 있다. x=5는 두 조건을 모두 만족하고, x=6도 2x-3=9>5 및 -x+7=1≥1이므로 포함된다. 반면 x=4는 첫 번째 식에서 5>5가 되어 거짓이므로 제외된다.
학교 일정 속 짧은 풀이에서도 빠지지 않을 기록
신천동에서 잠실고등학교의 학교 프린트, 교과서 복습, 수행평가 준비가 겹치는 주간에는 긴 문제 풀이보다 한 문제의 표시 과정을 정확히 남기는 방식이 유용하다. 평일 귀가 후 시간이 짧더라도 각 부등식의 해를 별도의 수직선에 나타내고, 마지막에 겹치는 부분을 표시했는지 확인한다.
틀린 줄만 고쳐 x≤6을 4<x≤6으로 바꾸는 데서 끝내지 않는다. 왜 4와 6 사이만 남는지, 어떤 조건이 경계값을 포함하거나 제외하는지까지 답안에 남겨야 같은 판단을 다시 사용할 수 있다.
절댓값이 들어간 식에서 순서를 바꾸어 확인하기
새 문제로 다음 연립부등식을 제시한다.
|2x-3|≤5, x+1>0
먼저 절댓값 조건을 부호 판단과 분리해 계산한다.
- |2x-3|≤5는 -5≤2x-3≤5
- 양변에 3을 더하면 -2≤2x≤8
- 2로 나누면 -1≤x≤4
- x+1>0에서는 x>-1
따라서 두 해의 공통부분은 -1<x≤4이다. -1은 절댓값 조건에는 포함되지만 x+1>0에서는 제외되고, 4는 두 조건을 모두 만족하므로 포함된다. 괄호 안 식의 위치가 달라져도 절댓값 계산과 부호 조건을 한꺼번에 처리하지 않고 각각 구한 뒤 교집합을 남기는지 확인한다.
다시 풀었을 때 확인할 기준
새로운 수와 괄호 위치가 포함된 문제에서 정답만 맞힌 경우는 충분하지 않다. 각 부등식의 해를 따로 적었는지, 수직선에 표시했는지, 겹치는 부분만 최종 답으로 옮겼는지를 함께 확인한다.
다음 날 같은 판단을 재현하지 못한 문제만 다시 남긴다. 이 기록에서 공통범위 표시, 절댓값 계산, 경계값 확인이 모두 다시 수행되면 연립부등식의 해를 합집합처럼 적는 오류가 수정된 것으로 본다.