송파동고2수학과외

송파동고2수학과외, 로그부등식에서 진수 조건을 계산 줄에 남기는 연습

송파동의 잠실여자고등학교와 가락고등학교, 일신여자상업고등학교처럼 학교별 일정과 프린트 구성이 다르면 로그부등식 풀이에서 조건을 적는 습관이 시험 결과에 직접 영향을 준다. 송파파인타운 생활권에서 학교 수업과 주간 복습을 병행하는 학생의 풀이를 살펴보면, 계산 자체보다 진수 조건을 적지 않는 한 줄이 반복 오답의 출발점이 되기도 한다.

log₂(x−4)<2에서 사라진 x>4

학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.

log₂(x−4) < 2
x−4 < 2²
x < 8

밑이 2이므로 증가함수라는 점을 이용한 부등호 판단은 맞다. 그러나 로그의 진수는 반드시 양수여야 하므로 처음에

x−4>0, 즉 x>4

를 함께 기록해야 한다. 따라서 대수적으로 얻은 x<8과 진수 조건의 교집합을 구하면 최종 답은

4<x<8

이다. x=3을 답에 포함한다고 가정하면 log₂(−1)이 되어 실수 범위에서 정의되지 않는다. 학생의 오류는 부등호 방향을 몰라서가 아니라, 그 판단이 이루어진 줄에 진수 조건을 남기지 않은 데서 발생했다.

정답을 지우기 전에 오류 줄만 고치기

이 유형에서는 풀이 전체를 다시 베끼기보다, 틀린 원인을 한 문장으로 적고 해당 단계만 수정한다.

진수 x−4가 양수여야 하므로 x>4를 먼저 적은 뒤, x<8과 교집합을 구한다.

그다음 답안의 계산 흔적을 다음처럼 정리한다.

진수 조건: x−4>0 → x>4
log₂(x−4)<2
밑 2는 1보다 크므로 x−4<4
→ x<8
따라서 4<x<8

이처럼 조건을 답 마지막에 덧붙이는 메모가 아니라, 로그식을 본 직후의 계산 줄로 고정해야 한다. 기본 예제에서는 조건을 찾더라도 계수와 진수가 바뀌면 다시 생략하는 경우가 있어, 현재는 풀이 연결을 재확인하는 단계에 해당한다.

진수가 반대 방향으로 움직일 때의 교집합

새로운 문제로 다음 부등식을 제시한다.

log₂(7−x)<1

이번에는 진수 조건을 먼저 적어야 한다.

7−x>0 → x<7

밑 2는 증가하므로

7−x<2
x>5

두 조건의 교집합은 5<x<7이다. x=7은 진수가 0이 되어 제외되고, x=5는 로그값이 1이므로 원래의 ‘1보다 작다’에 포함되지 않는다. 숫자와 진수의 방향이 바뀐 문제에서도 학생이 조건 줄을 먼저 쓰고, 계산 결과와 교집합을 스스로 확인하는지를 통해 같은 오류가 새로운 조건에서 반복되지 않는지 점검할 수 있다.