송파동고1수학과외, 일차부등식 해의 끝점과 포함 여부 읽기
일차부등식의 해를 수직선에 나타낼 때는 해의 방향뿐 아니라 경계값을 포함하는지도 표시해야 한다. 송파동에서 학교 프린트와 교과서 문제를 함께 풀다 보면 정답 구간은 맞혔지만 끝점을 반대로 표시하는 경우가 생긴다. 이때 수직선 위의 점 하나가 부등호의 의미를 바꾼다.
점 하나를 채울지 비울지 결정하는 기준
예를 들어 2x-5≤7을 풀면
2x≤12
x≤6
이다. x=6을 대입하면 2×6-5=7이 되어 원래 부등식 7≤7을 만족한다. 따라서 6은 해에 포함되고, 수직선에서는 6에 ●를 표시한 뒤 왼쪽으로 선을 긋는다.
반대로 3x+2>11은
3x>9
x>3
이므로 x=3은 포함되지 않는다. 수직선의 3에는 ○를 그리고 오른쪽을 표시해야 한다. 등호가 있는 ≤, ≥에서는 끝점을 채우고, 등호가 없는 <, >에서는 끝점을 비운다는 판단이 식에서 직접 나와야 한다.
좌표 문제의 습관이 부등식 표현을 흐린 장면
관찰한 풀이에서는 학생이 일차부등식의 해를 표시한 뒤, 끝점 포함 여부를 말로 확인하지 않고 답만 다시 적었다. 또 좌표평면에서 두 점의 x좌표가 같은지 확인하지 않은 채 기울기 공식을 적용하는 행동도 나타났다. 예를 들어 A(4,1), B(4,6)에 대해
기울기 = (6-1)/(4-4)=5/0
으로 계산하려 한 것이다. 이 두 점은 x좌표가 같으므로 기울기를 수로 나타낼 수 있는 직선이 아니라 x=4인 수직선이다.
이 오류는 일차부등식의 수직선과 좌표평면의 직선을 같은 방식으로 처리한다는 뜻이라기보다, 문제에 주어진 조건을 먼저 분류하지 않고 익숙한 절차를 바로 적용하는 모습으로 볼 수 있다. 일차부등식에서는 먼저 부등호와 경계값을 읽고, 좌표에서는 두 x좌표가 같은지 먼저 판단해야 한다.
풀이 옆에 남길 한 가지 행동
다음 문제부터는 계산을 끝낸 뒤 답만 옮기지 않고, 식 옆에 짧은 판정 문장을 남긴다.
- x≤6이면 “6 대입 가능, ●, 왼쪽”이라고 적는다.
- x>3이면 “3 대입 불가, ○, 오른쪽”이라고 적는다.
- 두 좌표의 x값이 같으면 기울기 계산 전에 “x=a 꼴”이라고 적는다.
이렇게 하면 끝점 표현과 좌표 조건을 한꺼번에 외우는 대신, 각각의 문제에서 확인해야 할 수학적 조건이 드러난다. 특히 x=a는 기울기 0인 수평선이 아니다. 기울기 0인 직선은 y=b 꼴이고, x=a는 세로로 선다.
송파동의 주간 학습 시간에 맞춘 오답 기록
잠실여자고등학교, 가락고등학교, 일신여자상업고등학교처럼 송파동 안의 학교와 송파구 내 참고 학교의 일정은 서로 다를 수 있으므로, 학교별 프린트와 지필평가 준비 시간을 구분해 기록하는 편이 적절하다. 송파파인타운 생활권에서 귀가 후 시간이 짧은 날에는 긴 풀이를 다시 옮기기보다 오답노트에 “끝점 포함 여부를 대입으로 확인하지 않음”처럼 바뀌어야 할 행동 하나를 남긴다.
오답 원인은 개념, 조건, 계산, 표현 중 하나로 표시한다. 위 사례에서 부등호를 보고도 끝점을 채우지 않은 경우는 표현 오류이고, x좌표가 같은데 기울기를 계산한 경우는 조건 확인 오류에 해당한다.
부호를 바꾼 문제에서 확인할 수 있는가
같은 식을 다시 쓰는 대신 -2x+5≥1을 제시한다. 양변에서 5를 빼면
-2x≥-4
이고, 음수 -2로 나눌 때 부등호 방향이 바뀌므로
x≤2
이다. x=2를 대입하면 -4+5=1이므로 끝점은 포함된다. 따라서 2에는 ●를 표시하고 왼쪽을 가리켜야 한다.
이 문제에서 학생이 부등호 방향을 바꾸고, 2를 직접 대입해 포함 여부를 확인하며, 수직선에 ●와 왼쪽 방향을 함께 표현하는지 본다. 정답을 맞혔더라도 표시까지 오래 걸렸다면 재확인 대상으로 남긴다.